洛谷P4466 [國家集訓隊] 和與積
阿新 • • 發佈:2021-01-20
所求即為:
\[\large \sum_{a=1}^n\sum_{b=a+1}^n\left[ a+b \mid ab \right] \]設 \(\gcd(a,b)=d,a=id,b=jd\),得:
\[\large\begin{aligned} d(i+j)&\mid ijd^2\\ (i+j)&\mid ijd\\ \end{aligned} \]發現因為 \(\gcd(i,j)=1\),所以 \((i+j)\not \mid ij\),這是因為有:
\[\large \gcd(i+j,i)=\gcd(i+j,j)=1 \]因此得 \((i+j)\mid d\)。原式變為:
最後一步是分別列舉 \(j\) 和 \(i+j\)。列舉 \(d,j\) 後,\(\left\lfloor \frac{n}{d^2i} \right\rfloor\) 就為定值了,然後就可以數論分塊了。
大致分析一下複雜度,得總列舉次數為:
\[\large \sum_{i=1}^{\sqrt n}\frac{\sqrt n}{i}\sqrt{\frac{\sqrt n}{i}}=n^{\frac{3}{4}}\sum_{i=1}^{\sqrt n}\frac{1}{i^{\frac{3}{2}}} \]後一項為黎曼函式 \(\zeta(x)\),當 \(x=\frac{3}{2}\) 時,其取值約為 \(2.6\)
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 47350
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
x=0;char c=getchar();bool flag=false;
while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
if(flag)x=-x;
}
int n,m,tot;
ll ans;
int p[maxn],mu[maxn];
bool tag[maxn];
void init()
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=m;++i)
{
if(!tag[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=tot;++j)
{
int k=i*p[j];
if(k>m) break;
tag[k]=true;
if(i%p[j]) mu[k]=mu[i]*mu[p[j]];
else
{
mu[k]=0;
break;
}
}
}
}
ll calc(ll d)
{
ll v=0;
for(int i=2;i<=m/d;++i)
{
ll val=n/(d*d*i);
if(!val) continue;
for(int l=i+1,r;l<=2*i-1;l=r+1)
{
if(val/l==0) break;
r=min(val/(val/l),(ll)2*i-1),v+=val/l*(r-l+1);
}
}
return v;
}
int main()
{
read(n),m=sqrt(n),init();
for(int i=1;i<=m;++i)
if(mu[i])
ans+=mu[i]*calc(i);
printf("%lld",ans);
return 0;
}