題目

題目連結：https://codeforces.com/problemset/problem/449/D
給定一個長度為 \(n\) 的序列 \(a\)，求有多少種方案從 \(\{a_i\}\) 裡面選出一個非空子集使這些數按位與起來為 \(0\)。
\(n,a_i\leq 10^6\)。

思路

我們可以把選擇第 \(i\) 個數看做 and 上 \(a_i\)，不選擇第 \(i\) 個數看做 and 上 \(\mathrm{lim}=1048575\)。
可以看做 \(n\) 個多項式進行 FWT，其中第 \(i\) 個多項式只有 \(a_i\) 和 \(\mathrm{lim}\) 兩位為 \(1\)

我們只需要考慮第 \(j\) 項被多少 \(a_i\) 包含，因為只有這些 \(a_i\) 的貢獻是 \(2\)，其餘均為 \(1\)。然後快速冪計算即可。
那麼直接上 and FWT 就好了。時間複雜度 \(O(n\log n)\)。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1050010,MOD=1000000007;
const int C[2][2][2]={{{1,1},{0,1}},{{1,MOD-1},{0,1}}};
int n,lim;
ll f[N];

ll fpow(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
		if (k&1) ans=ans*x%MOD;
	return ans;
}

void FWT(ll *f,int typ)
{
	for (int k=1;k<lim;k<<=1)
		for (int i=0;i<lim;i+=(k<<1))
			for (int j=0;j<k;j++)
			{
				ll x=f[i+j],y=f[i+j+k];
				f[i+j]=(x*C[typ][0][0]+y*C[typ][0][1])%MOD;
				f[i+j+k]=(x*C[typ][1][0]+y*C[typ][1][1])%MOD;
			}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		f[x]++;
	}
	lim=1048576;
	FWT(f,0);
	for (int i=0;i<lim;i++)
		f[i]=fpow(2,f[i]);
	FWT(f,1);
	printf("%lld",(f[0]%MOD+MOD)%MOD);
	return 0;
}