196.質數距離

題目描述

給定兩個整數L和U，你需要在閉區間[L,U]內找到距離最接近的兩個相鄰質數C1和C2（即C2-C1是最小的），如果存在相同距離的其他相鄰質數對，則輸出第一對。

同時，你還需要找到距離最遠的兩個相鄰質數D1和D2（即D1-D2是最大的），如果存在相同距離的其他相鄰質數對，則輸出第一對。

輸入格式

每行輸入兩個整數L和U，其中L和U的差值不會超過1000000。

輸出格式
對於每個L和U ，輸出一個結果，結果佔一行。

結果包括距離最近的相鄰質數對和距離最遠的相鄰質數對。（具體格式參照樣例）

如果L和U之間不存在質數對，則輸出“There are no adjacent primes.”。

資料範圍

1≤L<U≤2^31−1

輸入樣例：

2 17
14 17

輸出樣例：

2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.

題目分析：由於L、R的範圍太大，所以我們不可能用線性篩法去求出所有的素數，然後比較；但是題目中還有一個資訊，那就是L到R的距離最多為10^6，而且我們知道一點：一個合數n一定存在一個小於等於√n的質因子，所以我們可以求出質因子p，然後根據質因子p找出[L,R]中所有的合數，那麼剩下的就是質數了。
現在問題是如何根據質因子p(對於質因子p，我們可以根據線性篩法找到[1,50000]中所有的質數，因為2^31開根號大約為50000)找出合數。

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define N 1000010
bool vis[N];
long long int prime[N],cnt;
void Prime(int n)
{
    memset
 
(vis,false,sizeof(vis));//全部初始化為是素數
    vis[0]=true;
    vis[1]=true;
    cnt=0;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[cnt++]=i;
        for(int j=0; j<cnt&&i*prime[j]<=n; j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int l,r;
    while(cin>>l>>r)
    {
        Prime(50000);
        memset(vis,false,sizeof(vis));//重複利用vis陣列
        for(int i=0; i<cnt; i++)
        {
            long long p=prime[i];
            /*檢索[l,r]上p的倍數，並標記為合數,有可能會碰到l=1(l,r很小，p在l到r的範圍內）的情況，即j=p，
            這樣就會誤把質數p標記為合數，所以要至少從2*p開始*/
            for(long long int j=max(2*p,(l+p-1)/p*p); j<=r; j+=p)
            {
                vis[j-l]=true;//標記為合數,並離散化,因為l和r的範圍很大，有10的9次方級別，所以要進行離散化處理，否則會超陣列範圍
            }
        }
        cnt=0;//重複利用cnt
        for(int i=0; i<=r-l; i++)
        {
            if(!vis[i]&&i+l>=2)//1即不是合數也不是質數，所以要特判
            {
                prime[cnt++]=i+l;
            }
        }

        if(cnt<2)
        {
            cout<<"There are no adjacent primes."<<endl;
        }
        else
        {
            int maxx=0,minn=0;
            for(int i=0; i<cnt-1; i++)
            {
                int d=prime[i+1]-prime[i];
                if(d>prime[maxx+1]-prime[maxx]) maxx=i;
                if(d<prime[minn+1]-prime[minn]) minn=i;
            }
            printf("%lld,%lld are closest, %lld,%lld are most distant.\n",prime[minn],prime[minn+1],prime[maxx],prime[maxx+1]);
        }
    }
    return  0;
}

197. 階乘分解

題目描述

給定整數 N ，試把階乘 N! 分解質因數，按照算術基本定理的形式輸出分解結果中的 pi 和 ci 即可。

輸入格式

一個整數N。

輸出格式

N! 分解質因數後的結果，共若干行，每行一對pi,ci，表示含有pi和ci項。按照pi從小到大的順序輸出。

資料範圍
1≤N≤106

輸入樣例：

5

輸出樣例：

2 3
3 1
5 1
樣例解釋
5!=120=23∗3∗5

題目分析：首先找出1-n中所有的質數(線性篩法），1-n中所有質數必然全部都為n!的質因子。首先我們要先知道1-n中有多少個p(1-n中的質數）的倍數，1-n中有ceil(n/p)個p的倍數,每個p的倍數都至少存在一個p的指數次方，每個p的平方都至少存在兩個p的指數次方，每個p的三次方都至少存在三個p的指數次方…，所以p的ci等於
(在計算ceil(n/p)時相當於漏算了一個p^2的指數次，兩個p ^3的指數次。。。）
程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define N 1000010
int vis[N];
int prime[N],cnt;
void Prime(int n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
        }
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    Prime(n);
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        int t=n,p=prime[i];
        int sum=0;
        while(t)
        {
            sum+=t/p;
            t/=p;//代替n/p,n/(p^2),n/(p^3)....
        }
        cout<<p<<" "<<sum<<endl;
    }
    return  0;
}