技術標籤：動態規劃演算法動態規劃

題目連結
https://www.acwing.com/problem/content/898/

思路
這題說是dp，但是分析完之後更像貪心了，首先舉個例子比如一個序列：3 1 2 1 8 5 6。（後面下標從1開始計）那麼對於 a [ 1 ]和a [ 2 ]來說，如果上升子序列長度為2，那麼能接在 a [ 1 ]後面的也一定能接在 a [ 2 ]後面，因為a [ 2 ] < a[ 1 ]。以此思想，引出我們 dp陣列 f 的狀態表示。
我們的狀態表示為 f [ i ] 存放的是所有長度為 i 的上升子序列中所有末尾值中的最小值，這樣就能得到一個嚴格的單調遞增序列，我們來證明一下為什麼嚴格單調遞增，假設 f [ 6 ] ≤ f [ 5 ]，那麼對於長度為6的這個上升子序列來說，它的第五個數 t 一定是小於 f [ 6 ]的，那麼就存在 f [ 5 ] > t ，但是我們存放的是所有長度為5的上升子序列的末尾值中的最小值，所有矛盾了，故這個序列一定是單調遞增的。那麼對於 a [ i ]我們只需要查詢 f 陣列中小於 a [ i ] 的最大值 j 即可，然後可以直接更新f [ j+1] = a [ i ]，因為 a [ i ]一定小於當前 f [ j + 1 ]，不然也不會找到 j 了，那麼這個查詢到 j 的過程就是可以運用二分查詢來優化，所以整個演算法的時間複雜度就由樸素做法的O(n²)優化到O(nlogn)。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e6+5;

int a[N];
int f[N];
int n;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    f[0]=-2e9;//哨兵作用
    int len=0;

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int
 
 l=0,r=len;
        while(l<r)
        {
            int mid=(l+r+1)>>1;//向上取整
            if(f[mid]<a[i]) l=mid;
            else r=mid-1;
        }
        len=max(len,r+1);
        f[r+1]=a[i];
    }

    printf("%d\n",len);
    return 0;
}