貪心 + 二分 複雜度 $ O(n \cdot log(n)) $

總體複雜度 $ 1 \times 10^{5} \times log(1 \times 10^{5} ) \approx 1.66 \times 10^{6} $

#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++)	cin >> a[i];
	int len = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++) {
		int l = 0, r = len;
		while (l < r) {
			int mid = l + r + 1 >> 1;
			if (q[mid] < a[i])	l = mid;
			else	r = mid - 1;
		}
		len = max(len, r + 1);
		q[r + 1] = a[i];
	}
	cout << len << endl;
	return 0;
}
 

1. $ q[i] $ 代表長度為 $ i $ 時結尾的最小值，$ q[i] $ 嚴格單調遞增，證明：
   如果 $ q[i] >= q[i + 1] $ ，那麼長度為 $ i + 1 $ 的序列一定存在一個長度為 $ i $ 的子序列 ，$ q^{'} [i] < q[i + 1] <= q[i] $ ，與 $ q[i] $ 的定義矛盾；
2. 演算法思路：每次使用二分找到長度最大，且結尾元素小於 \(a[i]\) 的 \(q[j]\) ，並用 \(a[i]\) 更新 \(q[j+1]\) (一定滿足 $ q[j] < a[i] <= q[j + 1] $ ，所以可以用 \(a[i]\)
   更新 \(q[j+1]\) )
3. 二分的區間為 \([0,len]\) ，使用二分模板，\(l = mid\) 所以要 \(mid = l + r + 1 >> 1\) ，二分的結果是 $ l = r = $ 滿足條件的 \(q[j]\) 的索引 \(j\)