技術標籤：題解c++

P2512糖果傳遞

題目描述

有 n n n 個小朋友坐成一圈，每人有 a i a_i ai​ 個糖果。每人只能給左右兩人傳遞糖果。每人每次傳遞一個糖果代價為 1 1 1。
連結

思路

在想到解決方法之前，我們首先可以得到一些顯而易見的結論：

1. 最終時每個人手中的糖果數都為總糖果數的平均值，記為 a v av av。
2. 記小朋友 i i i 給 i + 1 i+1 i+1 的糖果數為 x i x_i xi​（對於 n n n，是給 1 1 1 的），對於每一個小朋友的糖果數變化量，可以列出： a i − a v = x i − x i − 1 a_i-av=x_i-x_{i-1}
   ai​−av=xi​−xi−1​（當然 1 1 1 又是特殊的）
3. 存在方案可以保證，在傳遞的過程中不會出現有小朋友出現負數糖果。
4. 最終答案等於 ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ \sum_{i=1}^n |x_i| ∑i=1n​∣xi​∣

可以想到將所有的 2 中的方程聯立，等價於 n − 1 n-1 n−1 個（有一個能由其他方程推出）個方程： x i = x i − 1 + a i − a v x_i=x_{i-1}+a_i-av xi​=xi−1​+ai​−av，很明顯這是一個遞推公式，得到通項公式：
x i = x 1 − ( i − 1 ) a v + ∑ i = 2 n a i x_i=x_1-(i-1)av+\sum_{i=2}^na_i

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
 

#define ll long long
using namespace std;
int n,a[1000001],num[1000001];
ll ave;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        ave+=a[i];
    }
    ave/=n;
    for(int i=2;i<=n;i++)num[i]=num[i-1]+a[i]-ave;
    sort(num+1,num+n+1);
    ll ans=0;
    int mid=num[n/2+1];
    for(int i=1;i<=n;i++)ans+=abs(num[i]-mid);
    cout<<ans; 
    return 0;
}

強行拓展

上面思路中有一個及其重要的思想：在任意區域內某種守恆量總量的改變，等於從邊界進入或離去的數量。在拓展一下，對於不守恆的量的改變，等於從邊界進入或離去的數量再加上內部產生的量。
看起來是廢話，但這是一句有用的廢話。
所以，你想到連續性方程了嗎？

用這句看似廢話的話，就能得到基爾霍夫電流定律，流體基本連續性方程，熱流方程……
總之，大道至簡，最簡單的思想往往有最強大的威力。

行了別拓展了，週四開始寫，現在都週五了