技術標籤：數論

2020icpc-濟南站 A-Matrix Equation（高斯消元）

題意： 先給定了兩個 n × n n \times n n×n 的 01 01 01 矩陣 A A A 和 B B B，現在有兩種運算

× \times × ： D n × n = A n × n × B n × n D_{n \times n} = A_{n \times n} \times B_{n \times n} Dn×n​=An×n​×Bn×

⊙ ⊙ ⊙ ： D n × n = A n × n ⊙ B n × n D_{n \times n} = A_{n \times n} ⊙ B_{n \times n} Dn×n​=An×n​⊙Bn×n​ 表示連個矩陣點乘。即 D i j = A i j ∗ B i j D_ij = A_{ij} * B_{ij}

現在要求 A × C = B ⊙ C A \times C = B\ ⊙\ C A×C=B⊙C ，求有多少 01 01 01 矩陣 C C C 滿足條件。

思路：

要滿足等式，即滿足

不知道為什麼，在Typora裡寫好的公式，複製過來就是顯示不了，直接圖片了
當 j j j 確定一個值時，此時對於 k k k 從 1 1 1 到 n n n ,可以列出 n n n 個同餘方程組。高斯消元得到自由元個數 x x x 後，矩陣 C C C 中 第 j j j 列中的可能組數即為 2 x 2^x 2x 中，每一列都算出來有多少組，最後累加即可。當有一組無解時，答案就直接記為 0 0

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 210;
const ll mod = 998244353;

int a[maxn][maxn];//增廣矩陣
int x[maxn];//解集
int freeX[maxn];//自由變元
ll qpow(ll a, ll b){
   ll ans = 1;
   while(b > 0){
        if(b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
   }
   return ans;
}
int Gauss(int equ, int var) {
    for(int i = 0; i <= var; i++) {
        x[i] = 0;
        freeX[i] = 0;
    }
    int col = 0;//當前處理的列
    int num = 0;//自由變元的序號
    int row;//當前處理的行
    for(row = 0; row < equ && col < var; row++, col++){//列舉當前處理的行
        int maxRow = row;//當前列絕對值最大的行
        for(int i = row + 1; i < equ; i++){//尋找當前列絕對值最大的行
            if(abs(a[i][col]) > abs(a[maxRow][col]))
                maxRow = i;
        }
        if(maxRow != row){//與第row行交換
            for(int j = row; j < var + 1; j++)
                swap(a[row][j], a[maxRow][j]);
        }
        if(a[row][col] == 0){//col列第row行以下全是0，處理當前行的下一列
            freeX[num++] = col;//記錄自由變元
            row--;
            continue;
        }
        for(int i = row + 1; i < equ; i++){
            if(a[i][col] != 0){
                for(int j = col; j < var + 1; j++){//對於下面出現該列中有1的行，需要把1消掉
                    a[i][j] ^= a[row][j];
                }
            }
        }
    }
    for(int i = row; i < equ; i++)
        if(a[i][col] != 0)
            return -1;
    int temp = var - row;//自由變元有var-row個
    if(row < var)//返回自由變元數
        return temp;
    return 0;
}

int A[maxn][maxn], B[maxn][maxn];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            scanf("%d", &A[i][j]);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            scanf("%d", &B[i][j]);
    ll ans = 1;
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                a[i][k] = A[i][k];
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[i][i] = (A[i][i] - B[i][j] + 2) % 2;
        }
        int r = Gauss(n, n);
        if (r == -1) {
            ans = 0;
            break;
        }
        ans *= qpow(2, r);
        ans %= mod;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}