題意：

有一個N行M列的矩陣，機器人最初位於第i行和第j列。然後，機器人可以在每一步都轉到另一個單元。目的是轉到最底部（第N個）行。機器人可以停留在當前單元格處，向左移動，向右移動或移動到當前位置下方的單元格。如果機器人在最左側的列中，則不能向左移動；如果機器人在最右側的列中，則不能向右移動。在每一步中，所有可能的移動都是同等可能的。返回到達最底行的預期步數。

程式碼+題解：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include
 
<iostream>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem__(a) memset(a,-1,sizeof(a))
typedef long long ll;
const int maxn=1e3+10;
const int N=200;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double blo=1.0/3.0;
const double eps=1e-8;
double dp[maxn][maxn],a[maxn][maxn],b[maxn];
int main()
{
    
 
int x,y,n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%d%d",&x,&y);
    mem(dp);
    if(m==1)
    {
        printf("%.4lf\n",2.0*(n-x));
        return 0;
    }
    /*
    dp[i][1]-1/2dp[i][2]=3/2+1/2dp[i+1][1]
    -1/4dp[i][j-1]+3/4dp[i][j]-1/4dp[i][j+1]=1+1/4dp[i+1][j],1<j<m
    -1/2dp[i][m-1]+dp[i][m]=3/2+1/2dp[i+1][m]
    
 
*/
    for(int i=n-1; i>=1; --i)
    {
        /*
        構造一個矩陣
        x1 x2 x3...xn    代表的是未知變數dp[i][j]前面的係數,這個係數放在a數組裡面
        由上面三個公式就是分別求dp[i][1]和dp[i][j]和dp[i][m]的公式 
        dp[i][1]需要用到前兩個變數dp[i][2]和dp[i+1][1]
        dp[i][j]就需要用到變數dp[i][j-1],dp[i][j+1],dp[i+1][j] 
        dp[i][m]需要用到前兩個變數dp[i][m-1]和dp[i+1][m]
        那麼它們的係數就會構造一個下面這樣的矩陣
        x x 0 0 0    這一行中我們設第一個x為x1，另一個為x2.那麼x1=1.0，x2=-1/2 ，b[1]= 3/2+1/2dp[i+1][1],b陣列下面有解釋 
        x x x 0 0  
        0 x x x 0  
        0 0 x x x  
        0 0 0 x x  
        這個矩陣肯定是一個正方形，因為n個未知數需要n個方程,所以肯定矩陣是一個正方形矩陣
        另外我們還需要一個b陣列來儲存這n個方程右邊的值，這個右邊的值是不含未知數，所以是一個已知值 
        
　　　　　之後就是高斯消元部分：
        我們可以通過方程之間的加減乘除來使這個係數矩陣變成
        x x 0 0 0  
        0 x x 0 0  
        0 0 x x 0  
        0 0 0 x x  
        0 0 0 0 x 
        
        然後我們再化簡成
        x 0 0 0 0  
        0 x 0 0 0  
        0 0 x 0 0  
        0 0 0 x 0  
        0 0 0 0 x
        
        這個樣子的話就變成了一元一次方程，那麼一層for迴圈就可以求出來所有未知量的值 
        */ 
        for(int j=2; j<m; ++j)
        {
            a[j][j]=-1*3.0/4.0;
            a[j][j-1]=1.0/4.0;
            a[j][j+1]=1.0/4.0;
            b[j]=-1.0-1.0/4.0*dp[i+1][j];
        }
        if(m>=2)
        {
            a[m][m] = a[1][1] = -2.0 / 3;
            a[1][2] = a[m][m - 1] = 1.0 / 3;
            b[1] = -1 - dp[i + 1][1] / 3.0;
            b[m] = -1 - dp[i + 1][m] / 3.0;
        }
        for(int j = 1; j < m; j++)
        {
            if(fabs(a[j+1][j])< eps) continue;
            double rate = a[j + 1][j] / a[j][j];
            for(int k = 0; k < 2; k++)
                a[j + 1][j + k]-=a[j][j + k]*rate;
            b[j + 1]-=b[j]*rate;
        }
        for(int j = m; j > 1; j--)
        {
            if(fabs(a[j - 1][j]) < eps) continue;
            double rate = a[j - 1][j] / a[j][j];
            a[j - 1][j] -= a[j][j] * rate;
            b[j - 1] -= b[j] * rate;
        }
        for(int j=1;j<=m;++j)
            dp[i][j]=b[j]/a[j][j];
    }
    printf("%.4lf\n",dp[x][y]);
    return 0;
}