定義

二叉查詢樹（Binary Search Tree），又稱為二叉搜尋樹，二叉排序樹。它可以是一棵空樹，如果不是空樹，則具有下列的性質：

• 非空左子樹的所有鍵值小於其根結點的鍵值
• 非空右子樹的所有鍵值大於其根結點的鍵值
• 左、右子樹都是二叉查詢樹

比如下面兩棵樹，左邊的樹，因為5小於10，應該在10的左子樹上，因此不是二叉查詢樹，右邊的樹則符合二叉查詢樹的條件。

查詢

二叉查詢樹的查詢過程，可以分為下面的步驟：

• 從根結點開始，如果樹為空，則返回NULL
• 如果樹不為空，則根結點的值與查詢值X進行比較，並進行不同的處理
  • 如果X等於根結點的值
    ，則查詢完成，返回結點
  • 如果X小於根結點的值，則在左子樹中繼續查詢
  • 如果X大於根結點的值，則在右子樹中繼續查詢

下圖以查詢33為例，展示了查詢的軌跡

def find(root: TreeNode,key):
    if not root:
        return None
    if key == root.val:
        return root
    elif key < root.val:
        return find(root.left,key)
    else:
        return
 
 find(root.right,key)
複製程式碼

當然，上面的遞迴演演算法中存在尾遞迴，一般的編譯器都會自動優化尾遞迴，我們也可以將程式碼改為迭代的方式

def find(root: TreeNode,key):
    if not root:
        return None
    while root:
        if key == root.val:
            return root
        elif key < root.val:
            root = root.left
        else:
            root = root.right
複製程式碼
 

可以看的出來，演演算法的複雜度和樹的高度有關，每一次對比之後都會捨棄掉原來資料的一半，因此演演算法的時間複雜為O(logn)

最小元素與最小元素

根據二叉查詢樹的性質:

• 最小元素一定是在樹的最左分枝的端結點上
• 最大元素一定是在樹的最右分枝的端結點上
  演演算法的實現也比較清晰

def findMax(root: TreeNode):
    if root:
        while root.right:
            root = root.right
    return root


def findMin(root: TreeNode):
    if root:
        while root.left:
            root = root.left
    return root
複製程式碼

插入結點

由於二叉查詢樹具有特定的性質，因此在插入新的結點的時候，也要保證二叉查詢樹的性質，整個插入新結點的過程與查詢的過程類似，

以插入35為例，下圖展示了插入35的軌跡

def insert(root: TreeNode,key):
    if not root:
        return TreeNode(key) # 如果是空樹，則新建根結點
    while root:
        if key == root.val:
            break # 如果插入的key已經存在，則直接退出迴圈
        elif key < root.val:
            # 小於向左子樹查詢
            if not root.left:
                root.left = TreeNode(key)
            else:
                root = root.left
        else:
            # 大於向右子樹查詢
            if not root.right:
                root.right = TreeNode(key)
            else:
                root = root.right
    return root
複製程式碼

刪除結點

刪除操作比較複雜，要分情況談論：

要刪除的結點為葉子結點

這種情況下，直接刪除。如下圖要刪除35結點

要刪除的結點只有一個孩子結點

這種情況下，直接將要刪除結點的孩子結點，向上提，替代要刪除的結點，如下圖要刪除33結點

要刪除的結點有左、右兩棵子樹

這種情況下，可以有兩種方案：

• 取左子樹的最大元素替代要刪除結點
• 取右子樹的最小元素替代要刪除結點

如果要刪除41結點（使用左子樹最大元素代替）

左子樹的最大元素，依舊比右子樹的所有元素小，但是比其他左子樹的元素大，因此它成為新的根結點的時候，依舊能保持左子樹下的所有元素比根結點小，右子樹下的所有元素比根結點大。

如果要刪除41結點（使用右子樹最小元素代替）

右子樹的最小元素，依舊比左子樹的所有元素大，但是比其他右子樹的元素小，成為新的根結點，依舊能保持二叉查詢樹的性質

綜合上面的情況，程式碼如下

def delete(root: TreeNode,key):
    if not root:
        return None
    if key < root.val:
        root.left = delete(root.left,key)
    elif key > root.val:
        root.right = delete(root.right,key)
    else:
        if root.left and root.right:
            # 有左右孩子
            leftMax = findMax(root.left)
            root.val = leftMax.val
            root.left = delete(root.left,leftMax.val)
        elif not root.left and not root.right:
            # 葉子結點
            root = None
        elif root.left:
            # 只有左孩子
            root = root.left
        elif root.right:
            # 只有右孩子
            root = root.right
    return root
複製程式碼

在有左右孩子的情況下，實際上只是把替代結點的值賦值給要刪除結點的值，真正刪除的是原來的替代結點，比如要刪除41結點，替代結點為35，則把41改為35，然後刪除原來的35結點。

總結

二叉查詢樹將資料按照順序組織好，排列成二叉樹結構，因此相關演演算法的複雜度基本取決於樹的高度，如果在構建二叉查詢樹的時候，不注意樹的高度，容易構建成一棵斜樹，這樣二叉查詢樹就失去了優勢。

二叉查詢樹有較高的插入和刪除效率，並且具備較高的查詢效率，對組織動態資料比較友好。

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