判斷一個數是否是素數的 n 多種方法

阿新 • • 發佈：2021-06-11

素數：只能除以1和自身的數（需要大於1）就是素數，又叫質數。

方法

從2開始一直除到該數之前的那個自然數，如果有能被整除的就不是素數

bool isPrime(int n) {
	if (n == 1) {
		return false;
	}
	if (n == 2) {
		return true;
	}
	for (int i = 2; i <n ; ++i) {
		if (n % i== 0) {
			return false;
		}
	}
	return true;
}

假設 d 為 n 的約數，那麼 n/d 也是 n 的約數，因為有: n = d * (n/d)，即：min(d, n/d) <= sqrt(n)，因此我們只要檢測 2 ~ sqrt(n) 範圍內所有的整數就可以了，

bool isPrime(int n) {
	if (n == 1) {
		return false;
	}
	if (n == 2) {
		return true;
	}
	for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
		if (n % i== 0) {
			return false;
		}
	}
	return true;
}

如果不能被 2 整除，那麼 n 即為奇數，判斷其是否能被奇數整除就好了，因此迴圈的範圍就可以減小為 [3, sqrt(n)]內的奇數

bool isPrime(int n) {	
	if (n == 2) {                               // 2 是素數
		return true;
	}
	if (n != 2 && n % 2 == 0) {             	// 如果能被 2 整除，證明 n 不是素數（2 本身除外） 
		return false;
	}
	// 如果不能被 2 整除，那麼 n 即為奇數，判斷其是否能被奇數整除，前面我們已經處理了 2 和 2 的倍數，因此這個迴圈的範圍就是 [3, sqrt(n)]內的奇數
	for (int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2) {     //i <= sqrt(n); 可以換成i*i<n。為什麼加2，因為能被偶數整除的，一定能被2整除。上面已經討論過了
		if (n % i == 0) {
			return false;
		}
	}
}

上面的其實是之前我寫過的，用的c++，迴文字串判斷、素數的判斷、求最大公約數最小公倍數（c++）我懶得改了，下面的會用一些 python 的

既然可以通過除以 2 這個素數來先排除一半，那麼我已可以除以其他的3、5、7、11來再排除一些嘛

def isPrime(n):
    if n <= 1:
        return False
    elif n % 2 == 0 and n != 2:     # 去除能被2整除的  不包括2
        return False
    elif n % 3 == 0 and n != 3:     # 去除能被3整除的  不包括3
        return False
    elif n % 5 == 0 and n != 5:     # 去除能被5整除的  不包括5
        return False
    elif n % 7 == 0 and n != 7:     # 去除能被7整除的  不包括7
        return False
    else:
        for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):   # 這裡 +1是因為range不含end值，是個左閉右開的（start，end）
                if n % i == 0:
                    return False
        return True

6倍原理。所有的素數都在6的倍數的左側或者右側，也即num % 6 == 1 || num % 6 == 5，不滿足者不是素數，滿足者繼續驗證，步驟如下

對於1,2,3三個數字特殊處理

所有的素數都在6的倍數的左側或者右側，也即num % 6 == 1 || num % 6 == 5，不滿足者不是素數，滿足者繼續驗證

計算sqrt(num)，從5,11,17,23...開始驗證，每次驗證i和i+2，一旦整除，不是素數多次篩的時候可以打表。

注意： 只有6的倍數附近的數才有可能是質數。為什麼說可能是質數的，我舉個反例，25,35,49。。。

bool isPrime(int n) {
    if (n == 2 || n == 3) {            // 先排除2、3這兩個特例 
        return true;
    }
    if (n % 6 != 1 && n % 6 != 5) {    //如果不在6的倍數附近，肯定不是素數
        return false;
    } 
    for (int i = 5; i <= sqrt(n); i += 6) {   //對6倍數附近的數進行判斷
        if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

費馬素性檢驗，基於費馬小定理。缺點：在 2³²以內，這種方法的準確性尚可接受，但到了 2⁶⁴級別，出錯的概率就太高了。

費馬小定理wiki

假如a是一個整數，p是一個質數，那麼 a^p - a 是p 的倍數

那麼反過來呢？如果存在某個 a^p - a 是p 的倍數，是否就能判定 p 是素數呢？並不行，

例如 2³⁴¹ - 2 是341 的倍數，但 341 是合數；再比如 3¹¹⁰⁵ - 3 是 1105的倍數，但 1105 是合數；這類合數被稱為費馬偽素數。

不過幸好，一個合數是費馬偽素數的概率並不是很高。所以我們可以多測試幾個 a，只要有一個a不滿足，就說明即可說明 p 不是素數。

都成立，那它就很可能是素數了。注意，是很可能，不是一定是

import random
def isprime(n,k=128):   // 預設測試128 個a
    if n<2:
        return False
    for _ in range(k):
        a = random.randrange(1,n)
        if pow(a,n-1,n)!=1:
            return False
    return True

這個東西我也不是很熟啊，所以建議配合Wiki看，Wiki比我講的好的多

米勒-羅賓(Miller-Robin)素性檢驗。解決了費馬素性檢驗錯誤率有點高的情況，

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll qpow(ll a, ll n, ll p)      // 快速冪
{
    ll ans = 1;
    while (n){
        if (n & 1)
            ans = (__int128)ans * a % p;      // 注意！中間結果可能溢位，需要使用__int128過渡
        a = (__int128)a * a % p;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

bool is_prime(ll x)
{
    if (x < 3)                 // 特判1，2
        return x == 2;
    if (x % 2 == 0)            // 特判偶數
        return false;
    ll A[] = {2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022}, d = x - 1, r = 0;
    while (d % 2 == 0)         // 算出d, r 
        d /= 2, ++r;
    for (auto a : A){
        ll v = qpow(a, d, x);        // a^d
        if (v <= 1 || v == x - 1)    // 如果a^d≡0，說明是a是x的倍數；如果a^d≡1或-1，說明這串數接下來一定都是1，不用繼續計算
            continue;
        for (int i = 0; i < r; ++i){
            v = (__int128)v * v % x; // 同樣使用__int128過渡
            if (v == x - 1){         // 得到-1，說明接下來都是1，可以退出了
                v = 1;
                break;
            }
            
            if (v == 1)              // 在中途而非開頭得到1，卻沒有經過-1，說明存在其他數字y≠-1滿足y^2≡1，則x一定不是奇素數
                return false;
        }
        if (v != 1)                  // 檢視是不是以1結尾
            return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    cout<<bool(is_prime(6))<<endl;
    return 0;
}

6一般不咋用了，7一般用在要測試的那個數很大很大的情況，較小的情況其實前面幾種方法基本可以了，還有其他的一些方法比如尤拉篩選、埃拉託斯特尼篩選等等，詳見素性測試，當然，Wiki百科也有可能出錯，但是概率較低，畢竟可以自己修改 wiki 百科