#單位根反演，二項式定理#LOJ 6247 九個太陽
阿新 • • 發佈：2021-06-29
題目
\[\large {\sum_{i=0}^n[k|i]C(n,i)}\pmod {998244353} \]其中\(n\leq 10^{18}\),\(k=2^p,p\in [0,20]\)
分析
主要是\(k\)條件比較難想，但是貌似有點像NTT的原根，
而且這個組合數也難求，二項式定理是一個將組合數轉換為一個快速冪的定理
主要是沒寫過單位根反演，直接推式子算了
單位根有一個很重要的性質就是
然後這個式子就可以寫成
\[\large=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{k-1}\omega^{ij}_kC(n,i) \]考慮把有關\(i\)
觀察到後面直接套用二項式定理就是
\[\large=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}(\omega^j_k+1)^n \]直接\(O(klog_2n)\)求就可以了
程式碼
#include <cstdio> #define rr register using namespace std; typedef long long lll; const lll mod=998244353; lll n,k,omega,ans; inline lll ksm(lll x,lll y){ rr lll ans=1; for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ans=ans*x%mod; return ans; } signed main(){ scanf("%lld%lld",&n,&k); omega=ksm(3,(mod-1)/k); for (rr lll i=0,t=1;i<k;++i) ans+=ksm(t+1,n),t=t*omega%mod; return !printf("%lld",ans%mod*ksm(k,mod-2)%mod); }