知識精要

單位根反演用於計算一個數列中所有 \(k\) 的倍數的和。

具體方法是，我們構造一個多項式，其係數為數列。for(i = 0 -> n - 1)，將 \(\omega_k^i\) 代入我們構造的多項式，值的和即為答案。

看起來複雜度更差，但是“構造多項式”可能會有一種能更快計算的“封閉形式”（比如二項式定理），能顯著優化複雜度。

證明需要兩個式子：

\[[k|n] = \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1}w_k^{in} \]

（顯然）

一看就是等比數列求和，直接套用公式推一推就出來了。

\[\sum_{i=0}^n [k|i]a_i = \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}f(w_k^j) \]

給一個簡單的推導：

\[\sum_{i=0}^n[k|i]a_i \]

\[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{k-1}1/k * w_k^{ij}a_i \]

\[=\frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^na_iw_k^{ji} \]

\[=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}f(w_k^j) \]

技能展示

#6485. LJJ 學二項式定理

輸入以下變數的值：$ n, s , a_0 , a_1 , a_2 , a_3$，求以下式子的值：

\[\left[ \sum_{i=0}^n \left( {n\choose i} \cdot s^{i} \cdot a_{i\bmod 4} \right) \right] \bmod 998244353 \]

將每個 \(a_i\) 分開考慮。對於每個 \(a_i\)，我們要算的是：

\[\sum_{i=0}^n( {n\choose i} s^i)[i \bmod 4 = ...] \]

對於 \(a_0\) 比較好算，直接二項式定理搞上去即可。主要是算 \(a_{1,2,3}\)。

根據生成函式的基本運算，\(f(x)/x\) 能夠達到係數“左移”一位的效果，據此可以計算 \(a_{1,2,3}\)。

程式碼：

ll g[4] = {1, 911660635, 998244352, 86583718};
inline ll calc(ll x) {
	return quickpow(s * x % P + 1, n);
}
inline void work() {
	read(n), read(s);
	for (register int i = 0; i < 4; ++i)	read(a[i]), a[i] %= P;
	n %= (P - 1);
	s %= P;
	ll ans = 0;
	for (register int i = 0; i < 4; ++i) {
		ll res = 0;
		for (register int j = 0; j < 4; ++j) {
			res += calc(g[j]) * inv(quickpow(g[j], i)) % P;
		}
		ans += a[i] * res % P;
	}
	ans = (ans % P + P) % P;
	ans = ans * inv(4) % P;
	printf("%lld\n", ans);
}
 

P5293 [HNOI2019]白兔之舞

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