存在式子

\[n\cdot [n|k]=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}\\ \]

我們考慮來證明一下，

1. 若 \([n|k]=1\) ，那麼顯然 \(\omega_n^{ik}=1\) 。
2. 若 \([n|k]\ne 1\) ，那麼後者就是一個等比數列，我們運用求和公式 \(\frac{\omega_n^{nk}-1}{\omega_n^k-1}=0\) 。

我們可以利用這個式子提取出一個多項式的整數倍係數。

\[\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}[x^{ik}]f(x)=\sum_{i=0}^n[k|i][x^i]f(x)\\ =\sum_{i=0}^n(\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega_k^{ij})[x^i]f(x)\\ =\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n\omega_k^{ij}\cdot [x^i]f(x)\\ =\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n(\omega_k^{j})^i\cdot [x^i]f(x)\\ =\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}f(w_k^j)\\ \]

LOJ6485 LJJ 學二項式定理

求

\[\sum_{i=0}^n(\binom{n}{i}\cdot s^i\cdot a_{i\bmod4})\\ \]

我們考慮由於 \(i\) 在不同位數下的取值與 \(\bmod 4\) 的值有關，所以我們想到單位根反演。所以我們先定義多項式並嘗試將其化簡。

\[f(x)=\sum_{i=0}^nx^i\cdot\binom{n}{i}\cdot s^i=(xs+1)^n\\ \]

然後我們考慮到單位根反演只能求整數倍，但是我們這裡還需要求存在餘數的情況，可以比較容易地想到平移。

\[\text{res}=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}a_i\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(s\omega_k^j+1)^n}{\omega_k^{ij}}\\ \]

尼瑪 for

迴圈寫錯調半天。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=998244353,K=4,INVK=748683265;
const int w[K]={1,911660635,998244352,86583718};
const int _w[K]={1,86583718,998244352,911660635};
int ADD(int x,int y){return x+y>=MOD?x+y-MOD:x+y;}
int SUB(int x,int y){return x-y<0?x-y+MOD:x-y;}
int TIME(int x,int y){return (int)(1ll*x*y%MOD);}
int ksm(int x,int k=MOD-2){int res=1;for(;k;k>>=1,x=TIME(x,x))if(k&1)res=TIME(res,x);return res;}
long long n;int s,a[4],res;
int solve(){
	scanf("%lld%d",&n,&s),res=0;
	for(int i=0;i<K;++i){
		int sum=0;scanf("%d",&a[i]);
		for(int j=0;j<K;++j)
		sum=ADD(sum,TIME(ksm(ADD(TIME(s,w[j]),1),n%(MOD-1)),_w[i*j%K]));
		res=ADD(res,TIME(sum,a[i]));
	}
	return res=TIME(res,INVK),printf("%d\n",res),0;
}
int main(){
	int T;cin>>T;while(T--) solve();
	return 0;
}
 

UOJ450 【集訓隊作業2018】復讀機

這個不會是什麼 \(k\) 元生成函式吧。。。

我們貌似可以得到這麼一個奇怪的式子，

\[\text{res}=\sum_{a=0}^{d-1}\sum_{b=0}^{d-1}\sum_{c=0}^{d-1}\cdots f(w_d^a,w_d^b,w_d^c,\cdots)\\ =\sum_{a=0}^{d-1}\sum_{b=0}^{d-1}\sum_{c=0}^{d-1}\cdots (w_d^a+w_d^b+w_d^c+\cdots)^n\\ \]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int K=500005;
const int MOD=19491001,W2=19491000,W3=18827933;
int ADD(int x,int y){return x+y>=MOD?x+y-MOD:x+y;}
int TIME(int x,int y){return (int)(1ll*x*y%MOD);}
int ksm(int x,int k=MOD-2){int res=1;for(;k;k>>=1,x=TIME(x,x))if(k&1)res=TIME(res,x);return res;}
int n,k,d;
int fact[K],ifact[K];
void init(){
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=k;++i) fact[i]=TIME(fact[i-1],i);
	ifact[k]=ksm(fact[k]);
	for(int i=k;i>=1;--i) ifact[i-1]=TIME(ifact[i],i);
}
int main(){
	cin>>n>>k>>d;
	if(d==1) return printf("%d\n",ksm(k,n)),0;
	init();int res=0;
	if(d==2){
		for(int i=0;i<=k;++i){
			int tmp=TIME(fact[k],TIME(ifact[i],ifact[k-i]));
			res=ADD(res,TIME(tmp,ksm(ADD(i,TIME(k-i,W2)),n)));
		}
		return printf("%d\n",TIME(res,ksm(ksm(d),k))),0;
	}
	if(d==3){
		for(int i=0;i<=k;++i){
			for(int j=0;i+j<=k;++j){
				int tmp=TIME(fact[k],TIME(ifact[i],TIME(ifact[j],ifact[k-i-j])));
				res=ADD(res,TIME(tmp,ksm(ADD(i,ADD(TIME(j,W3),TIME(k-i-j,ksm(W3,2)))),n)));
			}
		}
		return printf("%d\n",TIME(res,ksm(ksm(d),k))),0;
	}
}