01 揹包

揹包問題的理論基礎是01揹包。

有N件物品和一個最多能被重量為W 的揹包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的價值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解將哪些物品裝入揹包裡物品價值總和最大。

例子：
揹包最大重量為4。

問揹包能背的物品最大價值是多少？

動規五部曲

1. 確定dp陣列以及下標的含義
   對於揹包問題是使用二維陣列，即dp[i][j] 表示從下標為[0-i]的物品裡任意取，放進容量為j的揹包，價值總和最大是多少。
   

2. 確定遞推公式
   可以有兩個方向推出來dp[i][j]，

   • 由dp[i - 1][j]推出，即揹包容量為j，裡面不放物品i的最大價值，此時dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
   • 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 為揹包容量為j - weight[i]的時候不放物品i的最大價值，那麼dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的價值），就是揹包放物品i得到的最大價值
     所以遞迴公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

3. dp陣列如何初始化
   首先如果揹包容量j為0的話，即dp[i][0]，無論是選取哪些物品，揹包價值總和一定為0。
   由狀態轉移方程可以看出i 是由 i-1 推匯出來，那麼i為0的時候就一定要初始化。dp[0][j]為存放編號0的物品的時候，各個容量的揹包所能存放的最大價值。

// 初始化需要倒敘遍歷，如果一旦正序遍歷了，那麼物品0就會被重複加入多次
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i為0時候的情況
}

4. 確定遍歷順序
   有兩個遍歷的維度：物品與揹包重量。兩者哪個先遍歷其實都可以，但是先遍歷物品更好理解。

先遍歷物品，然後遍歷揹包重量：

// weight陣列的大小 就是物品個數
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍歷物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍歷揹包容量 
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 這個是為了展現dp數組裡元素的變化
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        
    }
}
 

先遍歷揹包，再遍歷物品:

// weight陣列的大小 就是物品個數
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍歷揹包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍歷物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

5. 舉例推導dp陣列
   來看一下對應的dp陣列的數值，如圖：
   

程式碼

    public static void main(String[] args){
        int[] weight = {1, 3, 4};
        int[] value = {15, 20, 30};
        int bagWeight = 4;

        // 二維陣列
        int[][] dp = new int[weight.length][bagWeight + 1];

        // 初始化
        for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
            dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
        }

        // weight陣列的大小 就是物品個數
        for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍歷物品
            for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍歷揹包容量
                if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

            }
        }

        System.out.println(dp[weight.length - 1][bagWeight]);
    }