動態規劃(01揹包問題)

阿新 • • 發佈：2020-09-02

動態規劃(01揹包問題)

動態規劃演算法介紹

1) 動態規劃(Dynamic Programming)演算法的核心思想是：將大問題劃分為小問題進行解決，從而一步步獲取最優解的處理演算法

2) 動態規劃演算法與分治演算法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。

3) 與分治法不同的是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。 ( 即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解 )

4) 動態規劃可以通過填表的方式來逐步推進，得到最優解.

技巧:用一個表格來寫出推算過程!!!

解決揹包問題

問題詳情:

揹包問題：有一個揹包，容量為 4 磅，現有如下物品

要求達到的目標為裝入的揹包的總價值最大，並且重量不超出
要求裝入的物品不能重複

思路分析和圖解

揹包問題主要是指一個給定容量的揹包、若干具有一定價值和重量的物品，如何選擇物品放入揹包使物品的價值最大。其中又分 01 揹包和完全揹包(完全揹包指的是：每種物品都有無限件可用)
這裡的問題屬於 01 揹包，即每個物品最多放一個。而無限揹包可以轉化為 01 揹包。
演算法的主要思想，利用動態規劃來解決。每次遍歷到的第 i 個物品，根據 w[i]和 v[i]來確定是否需要將該物品放入揹包中。即對於給定的 n 個物品，設 v[i]、w[i]分別為第 i 個物品的價值和重量，C 為揹包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 個物品中能夠裝入容量為 j 的揹包中的最大價值。

圖解:

基本公式:

　　說明:(i是商品座標,j是揹包容量迭代的)

1   v[j][0]=v[0][j]=0
2   w[i]>j,v[i][j]=v[i-1][j]
3   j>w[i],v[i][j]=math.max(v[i-1][j],val[i]+v[i-1][j-w[i]]

程式碼實現:

package com.edu.algorithm.動態規劃;

/**
 * <p>
 * 使用動態規劃解決揹包問題[i是商品座標][j是揹包容量迭代的]
 * 公式:1.v[j][0]=v[0][j]=0
 *      2.w[i]>j,v[i][j]=v[i-1][j]
 *      3.j>w[i],v[i][j]=math.max(v[i-1][j],val[i]+v[i-1][j-w[i]])
 * </p>
 *
 * @作者 five-five
 * @建立時間 2020/9/1
  
*/
public class 揹包問題 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1, 4, 3};
        int[] val = {1500, 3000, 2000};//就是v[i]
        int max = 4;
        //建立二維陣列
        int[][] v = new int[w.length+1][max+1];//可以不初始化第一行和第一列
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            v[i][0] = 0;//第一列設定為0
        }
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
            v[0][i] = 0;//第一行設定為0
        }
        //根據公式動態規劃
        for (int i=1;i<v.length;i++){
            for (int j=1;j<v[i].length;j++){
                if (j<w[i-1]){//不是直接拿最大值來計算(逐一分析)
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                }else {
                    v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                }
            }
        }
        //列印一下
        for (int[] i:v){
            for (int j : i) {
                if(j==0){
                    System.out.print(j+"\t\t");
                }else
                System.out.print(j+"\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

}