「SOL」行列式 (模擬賽)
1. 題面
有一個大小為 \(n\) （\(n\le10^6\)）的方陣 \(A\)，給定 \(d_1,d_2,d_3,\dots,d_n\)，\((p_2,b_2,c_2),(p_3,b_3,c_3),\dots,(p_n,b_n,c_n)\) 以及 \(x\)。其中保證 \(p_i\lt i\)。\(A\) 滿足：
\[A_{ij}=\begin{cases}d_i&i=j\\b_i&i=p_j\\c_i&j=p_i\\x&otherwise\end{cases} \]求 \(A\) 的行列式對 \((10^9+7)\) 取模的結果。
2. 解析
2.1. 拆分矩陣
和另外一道題很像……方陣的大多數位置都是 \(x\)，可以想到分離出一個全為 \(x\) 的方陣 \(B\) ——
\[A=A'+B \]於是可以得到一個稀疏方陣 \(A'\)。
考慮行列式 \(|M|\) 的定義：列舉一個排列 \((q_1,q_2,\dots,q_n)\)，貢獻為 \((-1)^{\pi(q)}\prod M_{i,q_i}\)。這道題就是：
\[\sum_{q}(-1)^{\pi(q)}\prod_{i}(A'_{i,q_i}+B_{i,q_i}) \]2.2. 樹的情況
不妨先假設 \(x=0\)，則只考慮 \(A'\) 對行列式的貢獻。根據題意，\(A'\) 是個有值的位置關於主對角線對稱的方陣，這像什麼？一棵樹的鄰接表？具體的說，是一棵每條邊都有正反向且每個點有自環的“樹”。
於是我們嘗試把行列式的求解搬到樹上來。行列式計算時可以看作每行每列恰好選一個元素，那麼選擇的 \(A'_{i,q_i}\) 相當於選擇了樹上的一條邊，由於每行每列恰選一個元素，所以每個點的出入度都為 \(\mathbf1\) —— 每個點都屬於一個簡單有向環。
這樣的“樹”上，有向環只可能是父親與兒子的二元環以及自環。我們可以做一個樹形 DP 來把每個點劃分到一個環中並計算貢獻。但還有一個問題，行列式還有 \((-1)^{\pi(q)}\) 的係數，需要進行一些轉化。
\(\pi(q)\) 的奇偶性和「交換任意兩個數，將 \(q\) 變為有序的操作次數」的奇偶性相同。考慮在樹上合法的排列 \(q\)
更進一步的，\(\pi(q)\) 的奇偶性和「\(n\) 減去環個數」的奇偶性相同，這樣每新增一個環就乘上 \(-1\)，更加方便樹形 DP。
2.3. 非樹邊
現在考慮另一個方陣 \(B\)，同樣把它看成鄰接矩陣，那麼它是一個邊權為 \(x\) 的完全圖。
觀察行列式的定義式：
\[\sum_{q}(-1)^{\pi(q)}\prod_{i}(A'_{i,q_i}+B_{i,q_i}) \]每個 \((i,q_i)\) 要麼選 \(A'\) 要麼選 \(B\)。也就是說選擇樹邊時也可以選擇權為 \(x\)，也可以選擇全為 \(x\) 的非樹邊。但是如果考慮非樹邊，環的情況就非常複雜，我們是否需要考慮這些複雜的情況呢？
接下來就是一些數學的分析，想到這一步可能需要一些經驗吧……
如果在一個選擇環邊的方案中選擇了兩條權為 \(x\) 的邊（多於兩條則考慮最後兩條），也就是在矩陣上選擇了 \(B_{a,q_a},B_{b,q_b}\)，我們可以“交換”一下，選擇 \(B_{a,q_b},B_{b,q_a}\)。環的變化如下圖，會減少一個環，意味著貢獻係數相反：
由於交換操作是可逆的，這兩張圖一一對應，而貢獻係數相反，會被抵消。這也是為什麼一開始要分離出一個全為 \(x\) 的方陣 \(B\) 的原因 —— 要保證交換過後的圖存在，既然 \(B\) 形成完全圖，那麼這張圖必然存在。
於是我們只需要考慮至多選擇了一條 \(x\) 邊的情況，也即至多選擇一條非樹邊，這也可以用樹形 DP 計算。情況比較複雜，參考程式碼寫得比較醜陋，建議自己想……
3. 小結
矩陣大多數位置值一樣時可以拆成一個稀疏矩陣 \(A'\) 和另一個值全部相同的矩陣 \(B\)。
求解行列式又多了一個新方法了 awa：
- 當稀疏矩陣 \(A'\) “特別稀疏”時可以狀壓 DP；
- 也可以把矩陣看成鄰接矩陣，此題保證了 \(p_i\lt i\)，所以鄰接矩陣是一棵樹。
應該更注意矩陣的對稱性，此題 \(A'\) 有值的位置關於主對角線對稱，與鄰接矩陣相似。
4. 參考程式碼
點選展開/摺疊 特別醜的參考程式碼
/* Lucky_Glass */
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <algorithm>
const int MOD = 1e9 + 7;
inline int add(int a, const int &b) { return (a += b) >= MOD ? a - MOD : a; }
inline int sub(int a, const int &b) { return (a -= b) < 0 ? a + MOD : a; }
inline int mul(const int &a, const int &b) { return int(1ll * a * b % MOD); }
int pPow(int a, int b) {
int r = 1;
while (b) {
if (b & 1) r = mul(r, a);
a = mul(a, a), b >>= 1;
}
return r;
}
#define OPERON(a, b, fun) a = fun(a, b)
const int N = 1e6 + 10;
struct Graph {
int head[N], to[N << 1], nxt[N << 1], val[N << 1];
int edg_cnt;
inline void addEdge(const int &u, const int &v, const int &l) {
int p = ++edg_cnt;
to[p] = v, val[p] = l;
nxt[p] = head[u], head[u] = p;
}
inline int operator [] (const int &u) const { return head[u]; }
Graph() { edg_cnt = 1; }
} gr;
int n, valx;
int vald[N];
int f[N][4][2];
void dfs(const int &u, const int &fa) {
int u_emp[2] = {1, 0}, u_use[2] = {}, u_up[2] = {}, u_dn[2] = {};
for (int it = gr[u]; it; it = gr.nxt[it]) if (gr.to[it] != fa) {
int v = gr.to[it]; dfs(v, u);
int tmp_emp[2] = {}, tmp_use[2] = {}, tmp_up[2] = {}, tmp_dn[2] = {};
int tov = gr.val[it], tou = gr.val[it ^ 1];
/* empty + empty */
OPERON(tmp_emp[0], mul(u_emp[0], f[v][0][0]), add);
OPERON(tmp_emp[1], mul(u_emp[1], f[v][0][0]), add);
OPERON(tmp_emp[1], mul(u_emp[0], f[v][0][1]), add);
/* two-point loop */
OPERON(tmp_use[0], mul(mul(u_emp[0], f[v][1][0]), mul(tov, tou)), sub);
OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_emp[1], f[v][1][0]), mul(tov, tou)), sub);
OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][1][1]), mul(tov, tou)), sub);
/* used + empty */
OPERON(tmp_use[0], mul(u_use[0], f[v][0][0]), add);
OPERON(tmp_use[1], mul(u_use[1], f[v][0][0]), add);
OPERON(tmp_use[1], mul(u_use[0], f[v][0][1]), add);
/* up */
OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][2][0]), mul(valx, tou)), sub);
/* down */
OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][3][0]), mul(valx, tov)), sub);
/* lca */
OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_up[0], f[v][3][0]), mul(tov, valx)), sub);
OPERON(tmp_use[1], mul(mul(u_dn[0], f[v][2][0]), mul(tou, valx)), sub);
/* go up */
OPERON(tmp_up[0], mul(mul(u_emp[0], f[v][2][0]), tou), add);
OPERON(tmp_up[1], mul(mul(u_emp[1], f[v][2][0]), tou), add);
OPERON(tmp_up[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][2][1]), tou), add);
/* up + empty */
OPERON(tmp_up[0], mul(u_up[0], f[v][0][0]), add);
OPERON(tmp_up[1], mul(u_up[1], f[v][0][0]), add);
OPERON(tmp_up[1], mul(u_up[0], f[v][0][1]), add);
/* go down */
OPERON(tmp_dn[0], mul(mul(u_emp[0], f[v][3][0]), tov), add);
OPERON(tmp_dn[1], mul(mul(u_emp[1], f[v][3][0]), tov), add);
OPERON(tmp_dn[1], mul(mul(u_emp[0], f[v][3][1]), tov), add);
/* down + empty */
OPERON(tmp_dn[0], mul(u_dn[0], f[v][0][0]), add);
OPERON(tmp_dn[1], mul(u_dn[1], f[v][0][0]), add);
OPERON(tmp_dn[1], mul(u_dn[0], f[v][0][1]), add);
u_emp[0] = tmp_emp[0], u_emp[1] = tmp_emp[1];
u_use[0] = tmp_use[0], u_use[1] = tmp_use[1];
u_up[0] = tmp_up[0], u_up[1] = tmp_up[1];
u_dn[0] = tmp_dn[0], u_dn[1] = tmp_dn[1];
}
/* self loop */
OPERON(f[u][0][1], mul(u_emp[0], valx), sub);
OPERON(f[u][0][1], mul(u_emp[1], vald[u]), sub);
OPERON(f[u][0][0], mul(u_emp[0], vald[u]), sub);
/* others */
OPERON(f[u][0][0], u_use[0], add);
OPERON(f[u][0][1], u_use[1], add);
/* two-point loop with fa */
OPERON(f[u][1][0], u_emp[0], add);
OPERON(f[u][1][1], u_emp[1], add);
/* go up */
OPERON(f[u][2][0], u_up[0], add);
OPERON(f[u][2][1], u_up[1], add);
/* start from u */
OPERON(f[u][2][0], u_emp[0], add);
OPERON(f[u][2][1], u_emp[1], add);
/* go down */
OPERON(f[u][3][0], u_dn[0], add);
OPERON(f[u][3][1], u_dn[1], add);
/* end at u */
OPERON(f[u][3][0], u_emp[0], add);
OPERON(f[u][3][1], u_emp[1], add);
}
template<typename RType> RType rin(RType &r) {
int b = 1, c = getchar(); r = 0;
while (c < '0' || '9' < c) b = c == '-' ? -1 : b, c = getchar();
while ('0' <= c && c <= '9') r = r * 10 + (c ^ '0'), c = getchar();
return r *= b;
}
int main() {
rin(n), rin(valx);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
rin(vald[i]);
OPERON(vald[i], valx, sub);
}
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
int fa, tofa, tou;
rin(fa), rin(tofa), rin(tou);
OPERON(tofa, valx, sub), OPERON(tou, valx, sub);
gr.addEdge(i, fa, tofa);
gr.addEdge(fa, i, tou);
}
dfs(1, 0);
int ans = add(f[1][0][0], f[1][0][1]);
if (n & 1) ans = sub(0, ans);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
THE END
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我偏要 讓世界都墜落
湮滅前 整個銀河繁星閃爍
撕裂哀鳴是最後的輓歌
——《恆星墜落之時(森羅永珍)》 By 星塵/赤羽
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