【學習筆記】線段樹淺談
【學習筆記】線段樹淺談
線段樹，顧名思義，就是一棵樹，上面的每個節點由一個“線段”構成，然後組成了一棵除去了最後一層外，是完全二叉樹的樹，又叫區間樹，作用主要是單點修改，區間修改和區間查詢，這裡拿線段樹的區間和來舉例子
線段樹的構建
線段樹是一棵完全二叉樹，我們可以可以按照與二叉堆相似的儲存節點的方式，根節點為k，左子樹為k<<1,右子樹則為k<<1|1,因為樹是遞迴定義的，所以我們開始遞迴建樹。
1.建立結構體，用於存樹
因為完全二叉樹對應一個長度為a的區間，它需要的節點個數為4a，因此，我們要把樹的大小開到區間長度的四倍
const int maxn=1000010; struct tree{ int l,r; long long dat,add,mul; }t[maxn*4+5];
2.建立上傳
因為每次建一棵樹，父節點都要有相對應的資料更新，因此我們需要pushup來上傳子節點的資料
void pushup(int k)
{
t[k].dat=(t[k<<1].dat+t[k<<1|1].dat)%p;
}
3.遞迴建樹
然後用遞迴建樹
//k代表當前節點，l代表當前節點的左端點，r代表當前節點的右端點 void build(int k,int l,int r) { //儲存一下左端點和右端點，方便以後呼叫 //同時做一下延遲標記的初始化 t[k].l=l,t[k].r=r; t[k].add=0,t[k].mul=1; if(l==r) { t[k].dat=a[l];//如果到區間長度為1的時候，那麼這個時候就等於對應的數字 return ; } int mid=(l+r)>>1; build(k<<1,l,mid);//遞迴建左子樹 build(k<<1|1,mid+1,r);//遞迴建右子樹 pushup(k);//向父節點輸送左子樹和右子樹的資料 t[k].dat%=p; return ; }
這樣，一棵線段樹就建好了
線段樹的操作
對於線段樹，我們肯定不僅僅滿足於建好一棵線段樹，最主要的是，我們要用它做一些什麼事情，來幫助我們更好地解決我們需要解決的問題。
前面說過，線段樹的操作主要是點的修改和區間的資料查詢，我們先說一說點的修改
1.點的修改
因為線段樹是用遞迴定義的，因此，我們點的修改也可以用遞迴來進行修改這裡不過多贅述，因為重要的在後面
2.區間修改
區間修改有兩種修改方式，第一種是對應的某一個區間裡面的數，每一個加上一個數，另一種是對應區間裡面的數，每一個乘上一個數字。
對於加上一個數的方式，我們直接類似於點的修改，但是我們會發現，有一些樹是並沒有用到的，也就是說，我們每次在更新的時候去更新下一個節點，然後資料繼續往下更新，我們就會造成很大的空間與時間的冗餘，這些空間和時間都很大，我們都用得到！而且可以節省很大一部分空間！
因此，我們在這裡就要使用一種特殊的操作，延遲標記，然後我們就可以節省大量的空間，以及時間，從而加快線段樹的速度
大家可以看到，在之前的結構體定義中有add和mul，它們就分別是線段樹加法和乘法的延遲標記
然後延遲標記在我們使用某棵樹的時候需要傳遞下去，因此，我們與pushup相類似，我們要使用一個pushdown
void pushdown(int k)
{
//傳遞節點
t[k<<1].dat=(t[k<<1].dat*t[k].mul+t[k].add*(t[k<<1].r-t[k<<1].l+1))%p;
t[k<<1|1].dat=(t[k<<1|1].dat*t[k].mul+t[k].add*(t[k<<1|1].r-t[k<<1|1].l+1))%p;
//傳遞乘法的懶惰標記
t[k<<1].mul=(t[k].mul*t[k<<1].mul)%p;
t[k<<1|1].mul=(t[k].mul*t[k<<1|1].mul)%p;
//傳遞加法的懶惰標記
t[k<<1].add=(t[k<<1].add*t[k].mul+t[k].add)%p;
t[k<<1|1].add=(t[k<<1|1].add*t[k].mul+t[k].add)%p;
//還原父節點，因為子節點已經更新過了
t[k].add=0;
t[k].mul=1;
}
然後我們就可以快樂的進行區間修改了
void updata1(int k,int l,int r,int v)
{
if(l<=t[k].l&&r>=t[k].r)
{
t[k].dat=(t[k].dat*v)%p;
t[k].mul=(t[k].mul*v)%p;
return ;
}
pushdown(k);
int mid=(l+r)>>1;
if(l<=mid)
updata1(k<<1,l,r,v);
if(r>mid)
updata1(k<<1|1,l,r,v);
pushup(k);
}
void updata2(int k,int l,int r,int v)
{
if(l<=t[k].l&&r>=t[k].r)
{
t[k].dat=(t[k].dat+v*(t[k].r-t[k].l+1)%p;
t[k].mul=(t[k].add+v)%p;
return ;
}
pushdown(k);
int mid=(l+r)>>1;
if(l<=mid)
updata2(k<<1,l,r,v);
if(r>mid)
updata2(k<<1|1,l,r,v);
pushup(k);
}
3.區間查詢
區間查詢和區間修改實際上差不多，但是要注意返回值的時候要
模，不然會出問題
long long query(int k,int l,int r)
{
if(l<=t[k].r&&r>=t[k].r)
return t[k].dat;
pushdown(k);
long long ans=0;
int mid=(l+r)>>1;
if(l<=mid)
ans=(ans+query(k<<1,l,r))%p;
if(r>mid)
ans=(ans+query(k<<1|1,l,r))%p;
return ans%p;
}
這就是線段樹的模板了
最終程式碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,m,p;
int a[maxn];
struct tree{
int l,r;
long long dat,add,mul;
}t[maxn*4+5];
void pushup(int k)
{
t[k].dat=(t[k<<1].dat+t[k<<1|1].dat)%p;
}
void pushdown(int k)
{
//傳遞節點
t[k<<1].dat=(t[k<<1].dat*t[k].mul+t[k].add*(t[k<<1].r-t[k<<1].l+1))%p;
t[k<<1|1].dat=(t[k<<1|1].dat*t[k].mul+t[k].add*(t[k<<1|1].r-t[k<<1|1].l+1))%p;
//傳遞乘法的懶惰標記
t[k<<1].mul=(t[k].mul*t[k<<1].mul)%p;
t[k<<1|1].mul=(t[k].mul*t[k<<1|1].mul)%p;
//傳遞加法的懶惰標記
t[k<<1].add=(t[k<<1].add*t[k].mul+t[k].add)%p;
t[k<<1|1].add=(t[k<<1|1].add*t[k].mul+t[k].add)%p;
//還原父節點，因為子節點已經更新過了
t[k].add=0;
t[k].mul=1;
}
//k代表當前節點，l代表當前節點的左端點，r代表當前節點的右端點
void build(int k,int l,int r)
{
//儲存一下左端點和右端點，方便以後呼叫
//同時做一下延遲標記的初始化
t[k].l=l,t[k].r=r;
t[k].add=0,t[k].mul=1;
if(l==r)
{
t[k].dat=a[l];//如果到區間長度為1的時候，那麼這個時候就等於對應的數字
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid);//遞迴建左子樹
build(k<<1|1,mid+1,r);//遞迴建右子樹
pushup(k);//向父節點輸送左子樹和右子樹的資料
t[k].dat%=p;
return ;
}
void updata1(int k,int l,int r,int v)
{
if(l<=t[k].l&&r>=t[k].r)
{
t[k].dat=(t[k].dat*v)%p;
t[k].mul=(t[k].mul*v)%p;
return ;
}
pushdown(k);
int mid=(l+r)>>1;
if(l<=mid)
updata1(k<<1,l,r,v);
if(r>mid)
updata1(k<<1|1,l,r,v);
pushup(k);
}
void updata2(int k,int l,int r,int v)
{
if(l<=t[k].l&&r>=t[k].r)
{
t[k].dat=(t[k].dat+v*(t[k].r-t[k].l+1))%p;
t[k].mul=(t[k].add+v)%p;
return ;
}
pushdown(k);
int mid=(l+r)>>1;
if(l<=mid)
updata2(k<<1,l,r,v);
if(r>mid)
updata2(k<<1|1,l,r,v);
pushup(k);
}
long long query(int k,int l,int r)
{
if(l<=t[k].r&&r>=t[k].r)
return t[k].dat;
pushdown(k);
long long ans=0;
int mid=(l+r)>>1;
if(l<=mid)
ans=(ans+query(k<<1,l,r))%p;
if(r>mid)
ans=(ans+query(k<<1|1,l,r))%p;
return ans%p;
}
int main()
{
}