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最小割

雙倍經驗

這道題運用了最小割最常用的一種用法：集合劃分。

因為源匯最小割即就是將源匯劃分到不同的集合，那麼最簡單的應用就是最小代價劃分集合了。

本題中，題意是將 \(n\cdot m\) 個學生劃分文理科，每人只能選一科且選不同的科有不同的收益，求最大收益，符合集合劃分的條件，就理所當然地想到了最小割。

至於求最大收益，不妨就先將所有收益加起來，再減去最小代價（即最小割），便是最大收益了。

但是本題的難點在於，如果相鄰同學選一樣的（以下稱為一個組合），還會有額外收益。

於是我們需要加一點限制，使得我們在最後求最小割的時候，對於每一個組合：要麼滿足組合內的所有成員，都在同一個子集（包含源點的子集 \(S\)

於是大致見圖思路出來了：

• 對於每一個點（每一位同學）\(i\)：

  連 \(s\rightarrow i\) 容量為 \(art_i\)；

  連 \(i\rightarrow t\) 容量為 \(science_i\)。

• 對於每一個組合 \(i\)，新建兩個點 \(x_i,y_i\)：

  連 \(s\rightarrow x_i\) 容量為 \(same\_art_i\)；

  連 \(y_i\rightarrow t\) 容量為 \(same\_science_i\)

  。

  對於該組合內的每個點（即該點+上下左右四個點）\(j\in i\)：

  連 \(x_i\rightarrow j\) 容量為 \(+\infty\)；

  連 \(j\rightarrow y_i\) 容量為 \(+\infty\)。

這裡解釋一下這麼連的原因：

如果要 \(s\rightarrow x_i\) 這條邊（即要這個組合所有同學都選文科的收益），那麼就不割這條邊。但是，又因為 \(x_i\) 向這個組合內每個點都連了一條 \(+\infty\) 的邊，所以這些邊便不會被割掉。那麼為了防止 \(s\) 與 \(t\) 聯通，自然就會割掉這個組合內每個點與 \(t\) 連的邊（即都不選理科）。反之都選理科亦然。

如果放棄這個組合（即這個組合內每個成員選的科不都一樣），那麼就會割掉 \(s\rightarrow x_i\) 和 \(y_i\rightarrow t\) 這兩條邊，那麼就相當於這個組合內的每個點都互相獨立了，可以任意選科。

注：不能將 \(x_i\) 與 \(y_i\) 合併成一個點來連邊，這樣會使上述放棄組合的情況無法達到（即無法破壞組合獨立選擇）。

Code

#include<bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define pair pair<int,int>
using namespace std;
inline void end()
{
	puts("");
	system("pause");
}
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
const int N=3e4+4,M=5e5+5;
int n,m,nm,s,t,ans,Maxflow;
int first[N],nex[M],to[M],w[M],num=1;
inline void add(int u,int v,int val)
{
	nex[++num]=first[u];
	first[u]=num;
	to[num]=v;
	w[num]=val;
}
inline void Add(int u,int v,int val)
{
	add(u,v,val);
	add(v,u,0);
}
namespace ISAP
{
	int dep[N],gap[N],cur[N];
	void bfs()
	{
		memset(dep,-1,sizeof(dep));
		memset(gap,0,sizeof(gap));
		queue<int> q;
		q.push(t);
		dep[t]=0;gap[0]=1;
		while(!q.empty())
		{
			int u=q.front();q.pop();
			for(int i=first[u];i;i=nex[i])
			{
				int v=to[i];
				if(dep[v]!=-1) continue;
				dep[v]=dep[u]+1;
				gap[dep[v]]++;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	inline int dfs(int u,int in)
	{
		if(u==t) return in;
		int out=0;
		for(int i=cur[u];i;i=nex[i])
		{
			cur[u]=i;
			int v=to[i];
			if(!w[i]||dep[v]!=dep[u]-1) continue;
			int res=dfs(v,min(w[i],in-out));
			w[i]-=res;
			w[i^1]+=res;
			out+=res;
			if(in==out) return out;
		}
		gap[dep[u]]--;
		if(!gap[dep[u]]) dep[s]=3*nm+3;
		dep[u]++;
		gap[dep[u]]++;
		return out;
	}
	void work()
	{
		bfs();
		while(dep[s]<3*nm+2)
		{
			memcpy(cur,first,sizeof(first));
			Maxflow+=dfs(s,1e9);
		}
	}
}
inline int id(int i,int j){return  (i-1)*m+j;}
int dx[5]={-1,0,1,0,0},dy[5]={0,-1,0,1,0};
int main()
{
	//1|nm|nm|nm|1
        //源點|每個組合"選文"|每個座位|每個組合"選理"|匯點
	n=read(),m=read(),nm=n*m;
	s=0,t=3*nm+1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			int val=read();ans+=val;
			Add(s,id(i,j)+nm,val);//s -> i
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			int val=read();ans+=val;
			Add(id(i,j)+nm,t,val);//i -> t
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			int val=read();ans+=val;
			Add(s,id(i,j),val);//s -> x_i
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			int val=read();ans+=val;
			Add(id(i,j)+2*nm,t,val);//y_i -> t
			for(int k=0;k<5;++k)
			{
				int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
				if(x<1||y<1||x>n||y>m) continue;
				Add(id(i,j),id(x,y)+nm,1e9);//x_i -> j
				Add(id(x,y)+nm,id(i,j)+2*nm,1e9);//j -> y_i
			}
		}
	}
	ISAP::work();
	printf("%d",ans-Maxflow);
	end();
	return 0;
}