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題目

題目描述

資料組數為 \(t\)。

丹最喜歡做的兩件事情分別是踩人和位運算，所以現在他要用位運算來踩你。
丹給了你 \(n\) 個範圍在 \([0,2^\omega)\) 內的非負整數，你需要執行下面兩種操作共 \(n-1\) 次：

1. 選擇兩個非負整數 \(x\) 和 \(y\)，將兩個非負整數合成成一個非負整數 \(z\)，其中 \(z=\left\lfloor\frac{x\mid y}{2}\right\rfloor\)。（這裡的運算子 \(\mid\) 表示的是按位或）
2. 選擇一個非負整數 \(x\) 並將其刪去。

不難發現每次操作後你擁有的整數數量都會減少恰好一個，所以在 \(n-1\) 次操作後你會擁有恰好一個非負整數，你需要最小化剩下來的這個整數的值。你只需要輸出最後這個非負整數的值。

\(1\leq t\leq 10\)，\(n\leq 10^5\)，\(\omega\leq 60\)。

題解

貪心

我們考慮從高位向低位貪心，如果一個位置可以填 \(0\)，我們就立刻填好，不難發現這樣得到的答案一定是最優的。

我們的問題就轉化為了如何判定當前位 \(i\) 是否可以選擇 \(0\)。

簡單的判定問題

搜尋題目性質

不難發現，\(\left\lfloor\frac{x\mid y}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor\mid\left\lfloor\frac{y}{2}\right\rfloor\)

換句話說，對於兩個數，右移操作和或操作的順序實際上不分先後。

進一步推廣，一個數集經過收縮得到的結果只跟每個元素的右移次數有關，這些數可以根據右移的操作順序排成一棵樹，原先的數都在葉子節點上。

模擬收縮

我們不難貪心地發現，如果一個數可以經過 \(k_0,k_1,k_2,\cdots\) 次操作得到一個合法的，第 \(i\) 位沒有 \(1\) 的形式，我們必然選取其中的最小值 \(k_0\) 作為它右移的次數，否則更難滿足操作的合法性。

我們求出了每個數右移所需位數，直接模擬樹的收縮過程。

每次我們將對應的數兩兩配對，多餘的直接用刪除操作去除，事實上就是每次除 \(2\)。

之後判定是否達到了目的，即右移次數為 \(0\)

快速求解右移次數

如果我們暴力列舉右移的次數，複雜度為 \(\Theta(n\omega^2)\)，顯然過不掉。因此我們考慮優化這個部分，不難發現，如果我們知道了上次的限制，我們只需要 \(\Theta(1)\) 的時間即可知道新情況下需要右移多少位。

我們將 \(a_j\) 後刪除 \(i\) 以下的位置，那麼我們就需要將從後往前第一個 \(0\) 挪到 \(i\) 的對應位置。我們將所有的限制或起來，就對應著滿足所有條件的位置。

考慮到 \(0\) 的位置不太好求，我們變換 \(0\) 為 \(1\)，將限制的或改成與，則可以用 \(\operatorname{lowbit}\) 解決。

新的解法的時間複雜度為 \(\Theta(n\omega)\)。

參考程式

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;

bool st;

#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline uint32_t read_uint32(void){
	reg char ch=getchar();
	reg uint32_t res=0;
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return res;
}

inline uint64_t read_uint64(void){
	reg char ch=getchar();
	reg uint64_t res=0;
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
	return res;
}

const int MAXN=5e5;
const int MAXW=60;

uint32_t n,w;
uint64_t a[MAXN];
uint64_t tag[MAXN];

bool ed;

int main(void){
	reg uint32_t t=read_uint32();
	while(t--){
		n=read_uint32(),w=read_uint32();
		for(reg uint32_t i=0;i<n;++i)
			a[i]=read_uint64(),tag[i]=(1ull<<(w+1))-1;
		reg uint64_t ans=(1ull<<w)-1;
		for(reg int i=w-1;i>=0;--i){
			static uint32_t cnt[MAXW+1];
			static uint64_t tmp[MAXN];
			for(reg uint32_t j=0;j<n;++j)
				tmp[j]=tag[j]&(~(a[j]>>i)),++cnt[__builtin_ffsll(tmp[j])-1];
			reg uint32_t lim=0;
			for(reg int j=w;j>=0;--j)
				lim=(lim>>1)+cnt[j],cnt[j]=0;
			if(lim){
				ans^=1ull<<i;
				for(reg uint32_t j=0;j<n;++j)
					tag[j]=tmp[j];
			}
		}
		printf("%lu\n",ans);
	}
	fprintf(stderr,"%.3lf s\n",1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC);
	fprintf(stderr,"%.3lf MiB\n",(&ed-&st)/1048576.0);
	return 0;
}