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原文出處：拓端資料部落公眾號

分解南非GDP資料

本文包含各種過濾器，可用於分解南非GDP的方法。我們做的第一件事是清除當前環境中的所有變數。這可以通過以下命令進行。

1. rm(list = ls())
2. graphics.off()

載入資料

如前所述，南非的GDP資料將其作為時間序列儲存在gdp中，我們執行以下命令。

2. gdp <- ts(dat.tmp, start = c(1960, 2), frequency = 4)

為了確保這些計算和提取的結果是正確的，我們檢查一下資料的圖表。

plot(gdp)

線性濾波器去除資料線性趨勢

為了估計一個線性趨勢，我們可以利用一個包括時間趨勢和常數的線性迴歸模型。為了估計這樣一個模型，我們使用lm命令，如下。

1. lin.mod$fitted.values # 擬合值與時間趨勢有關
2. ts(lin.trend, start = c(1960, 1)) # 為趨勢建立一個時間序列變數
3. gdp - linear # 週期是資料和線性趨勢之間的差異

迴歸的擬合值包含與線性趨勢有關的資訊。這些資訊需要從模型物件lin.mod中提取，在上面的塊中，我們將這些值分配給時間序列物件linear。然後從資料中剔除趨勢，就得到了週期。

然後我們可以藉助下面的命令來繪製這個結果，其中趨勢和週期被繪製在不同的數字上。

1. plot.ts(gdp, ylab = "")
2. lines(linear, col = "red")
3. legend("topleft", legend = c("data", "trend")

霍德里克 - 普雷斯科特(Hodrick-Prescott，HP)濾波器對資料進行去趨勢處理

要用流行的HP濾波法分解這個資料。在這種情況下，我們將lambda的值設定為1600，這也是對季度資料的建議。

1. hp(gdp, freq = 1600)
2. plot.ts(gdp, ylab = "") # 繪製時間序列
3. plot.ts(hp.decom$cycle, ylab = "") # 繪製週期圖

這似乎更準確地反映了我們對南非經濟表現的理解。

用Baxter-King濾波器去趨勢資料

為了利用Baxter-King濾波器。在這種情況下，我們需要指定週期的頻帶，其上限被設定為32，下限被設定為6。

1. bk(gdp, pl = 6, pu = 32)
2. plot.ts(gdp, ylab = "")
3. plot.ts(cycle, ylab = "")

這似乎再次為南非經濟活動的週期性提供了一個相當準確的表述。還要注意的是，週期的表示比以前提供的要平滑得多，因為噪音不包括在週期中。

Christiano-Fitzgerald濾波器去趨勢資料

這個濾波器的性質與上面提供的非常相似。此外，產生與Baxter-King濾波器高度相似的結果。

2. plot.ts(gdp, ylab = "")
4. plot.ts(cfcycle, ylab = "")

用Beveridge-Nelson分解法 "去趨勢 "資料

為了將資料分解為隨機趨勢和平穩週期，我們可以採用Beveridge-Nelson分解法。當採用這種技術時，我們需要指定與平穩部分有關的滯後期的數量。在我下面的例子中，我假設有八個滯後期。

3. plot.ts(gdp, ylab = "")
4. lines(bn.trend, col = "red")
5. plot.ts(bn.cycle, ylab = "")

比較週期的不同衡量標準

然後，我們可以將所有這些結果結合在一張圖上，考慮各自的相似性和差異。在這個例子中，我建立了一個時間序列ts.union，但是我也可以先繪製一個單一的序列，然後再使用lines命令在上面繪製連續的圖。

1. ts.union(lin.cycle, hp.decom, bp.decom,
2. cf.decom, bn.cycle)
4. plot.ts(comb, ylab = "")

譜分解

在我們考慮使用譜技術之前，最好先清除當前環境中的所有變數，並關閉所有的圖。下一步是確保你可以通過使用library命令來訪問這些包中的程式。

1. library(tsm)
2. library(TSA)
3. library(mFilter)

使用譜技術進行分解。我們可以為三個時間序列變數生成數值，然後將它們組合成一個單一的變數。

1. 2 * cos(2 * pi * t * w[1]) + 3 * sin(2 * pi * t *
2. w[1]) # no.obs點上的6個週期的頻率
3. 4 * cos(2 * pi * t * w[2]) + 5 * sin(2 * pi * t *
4. w[2]) #頻率為10個週期的觀察點
5. 6 * cos(2 * pi * t * w[3]) + 7 * sin(2 * pi * t *
6. w[3]) # 在沒有觀測點的情況下，頻率為40個週期
7. y <- x1 + x2 + x3

為了觀察這些變數，我們可以把它們繪製在一個單獨的軸上。

1. par(mfrow = c(2, 2), mar = c(2.2, 2.2, 2, 1), cex = 0.8)
2. plot(x1, type = "l", main = "x1")
3. plot(x2, type = "l", main = "x2")
4. plot(x3, type = "l", main = "x3")
5. plot(y, type = "l", main = "y")

此後，我們可以使用週期圖來考慮這些時間序列變數的每一個屬性。

gram(y, main = "y", col = "red")

當然，我們可以利用一個過濾器，從總體時間序列變數中去除一些不需要的成分。為此，我們可以應用上下限相對較窄的Christiano-Fitzgerald濾波器。此後，我們使用應用於與週期有關的資訊的週期圖，來調查它是否成功地剔除了一些頻率成分。

1. cf(y0)
2. gram(cycle)

這個結果將表明，濾波器已經排除了大部分的高頻率成分。為了看看這個週期與之前的資料有什麼關係，我們把通過濾波器的週期性資訊繪製在分量上。此外，我們還將這個結果繪製在綜合週期的變數上。

1. plot(x1, type = "l", lty = 1)
2. lines(cycle, lty = 3, lwd = 3)
3. plot(y, type = "l", lty = 1)
4. lines(cycle, lty = 3, lwd = 3)

在這兩種情況下，它似乎都對過程中的趨勢做了合理的描述。

南非商業週期的譜分解法

為了考慮如何在實踐中使用這些頻譜分解，我們現在可以考慮將這些技術應用於南非商業週期的各種特徵中。

下一步將是執行所有的過濾器，這些過濾器被應用於識別南非商業週期的不同方法。

現在，讓我們對商業週期的每一個標準應用一個週期圖。

線性濾波器提供了一個很差的結果，因為趨勢明顯占主導地位（這不是週期應該有的）。這與Hodrick-Prescott濾波器的特徵形成對比，後者的趨勢資訊已經被去除。Baxter & King和Christiano & Fitzgerald的帶通濾波器也是這種情況。在這兩種情況下，噪聲也已經被去除。最後的結果與Beveridge-Nelson分解有關，我們注意到週期包括大量的趨勢和大量的噪聲。

小波分解

為了提供一個小波分解的例子，我們將把該方法應用於南非通貨膨脹的資料。這將允許使用在這個過程中推匯出對趨勢的另一種衡量方法，這可以被認為是代表核心通貨膨脹。請注意，這種技術可以應用於任何階數的單整資料，所以我們不需要首先考慮變數的單整階數。

然後，我們將利用消費者價格指數的月度資料，該資料包含在SARB的季度公告中。資料可以追溯到2002年。為了計算通貨膨脹的同比指標，我們使用diff和lag命令。

diff/cpi[-1 * (length - 11):length]

為了確保所有這些變數的轉換都已正確進行，我們對資料進行繪圖。

plot(inf.yoy)

由於我們在這種情況下主要對識別平滑的趨勢感興趣，我們將使用貝希斯函式。這樣的函式是Daubechies 4小波，它應用修正的離散小波變換方法。此外，我們還將使用三個母小波來處理各自的高頻成分。

wt(yoy, "d4")

然後我們可以為每個獨立的頻率成分繪製結果，如下所示。

1. plot.ts(yoy)
2. for (i in 1:4) plot.ts(d4[[i]]

如果我們現在想在資料上繪製趨勢（父小波）。

1. plot.ts(inf, ylab = "inf")
2. lines(ren)

請注意，由於各自的頻段是相加的，我們可以將其中一個母頻段加入到趨勢中，如下所示。

1. inf.tmp <- inf.tren + inf.d4$w3
2. inf.tren2 <- ts(inf.tmp, start = c(2003, 1), frequency = 12)
4. plot.ts(inf.yoy, ylab = "inf")
5. lines(inf.tren2, col = "red")

相關經濟變數的週期性成分之間的相關性

為了確定週期的特徵是否合適，我們可以考慮巨集觀經濟總量的一些不同週期性方法之間的相關性。例如，我們可以考慮產出和生產（或就業）的週期性在不同的滯後期應該是相關的。如果它們不相關，那麼該方法可能無法準確描述各自變數的週期性成分。

在本文使用的例子中，程式碼可能有點難以理解，但我們鼓勵你自己去研究，以提高你對這個編碼環境的總體理解。

下一步是讀入資料併為資料的各種週期性成分建立一些矩陣。

3. yd <- dat[5:n.obs, ] - dat[1:(n.obs - 4), ] # 儲存輸出
5. yc_li <- matrix(rep(0, n.obs * n.var), ncol = n.var)
6. yc_hp <- matrix(rep(0, n.obs * n.var), ncol = n.var)
7. yc_bp <- matrix(rep(0, n.obs * n.var), ncol = n.var)
8. yc_bn <- matrix(rep(0, n.obs * n.var), ncol = n.var)

使用上面包含的方法對資料進行過濾。

1. for (i in 1:n) {
3. # 用線性濾波器對資料進行去趨勢處理
4. lin.mod <- lm(dat[, i] ~ time(dat[, i]))
6. # 用HP濾波器去趨勢資料
7. yc_hp[, i] <- hp.cycle
9. #用帶通濾波器去趨勢資料
10. yc_bp[, i] <- bp.cycle
12. # Beveridge-Nelson分解
13. yc_bn[, i] <- bn.[, 2]
14. }

計算不同提前期和滯後期的相關關係。

3. for (i in 1:n) {
4. for (j in 1:n.var) {
5. c_li <- leadlag(yc_li[, i], yc_li[, j], maxLeadLag)
6. c_hp <- leadlag(yc_hp[, i], yc_hp[, j], maxLeadLag)
7. c_bp
8. c_bn
9. c_yd
12. for (k in 1:5) {
14. ynamesLong[(cnt + k), 1] <- paste(ynames.tmp)
15. }
16. cnt <- cnt + 5

繪製結果。

1. # 線性趨勢
3. barplot(corrStylizedFact)
4. box()

3. # hp濾波器
5. op <- par(mfrow = c(1, 3))
6. barplot(corrStyli, ylim = c(-1, 1))
7. box()

2. # beveridge nelson 分解
3. barplot(coracts, ylim = c(-1, 1), col = "red")
4. box()

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