原始演算法

　　矩陣乘法相信大家都有所瞭解，即對於任意A=（a_ij）和B=（b_ij）都是n x n矩陣，可以定義矩陣乘法為c_ij= ∑_k=1~na_ik x b_kj。

 1 SQUARE-MATRIX-MULTIPLY（A，B）
 2 {
 3     n = A.rows
 4     let C be a new n x n matrix
 5     for i =1 to n
 6         for j =1 to n
 7             c(ij) = 0
 8             for k = 1 to n
 9                 c(ij) += a(ik) x b(kj)
 
10     return C
11 }

　　以上程式碼為矩陣乘法的虛擬碼，第5行遍歷所有行，第6行遍歷所有列，第8行則將c_ij累加起來，所需要花費的時間顯而易見，為O（n³）。

一個簡單的分治演算法

　　假設每個矩陣都是n x n矩陣，且n為2的冪，這樣便可以使得每一個矩陣都可以劃分為四個子矩陣，由此來計算C = A x B。

　　由此可以得到，若A = [A₁₁，A₁₂，A₂₁，A₂₂]，同理B和C也可以分成四個子矩陣，則可以得到以下四個公式：

C₁₁= A₁₁ x B₁₁ + A₁₂x B₂₁

C₁₂= A₁₁ x B₁₂ + A₁₂ x B22

C₂₁ = A₂₁ x B₁₁ + A₂₂

C₂₂ = A₂₁ x B₁₂ + A₂₂ x B₂₂

　　通過這樣的方式我們可以直接設計一個遞迴分治演算法:

 1 SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A, B)
 2 {
 3     n = A.row
 4     let C be a new n x n matrix
 5     if n == 1
 6         c11 = a11 x b11
 7     else partition A, B, C
 8         C11 = SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11, B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12, B21)
 
 9         C12 = SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11, B12) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12, B22)
10         C21 = SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21, B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22, B21)
11         C22 = SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21, B12) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22, B22)
12     return C
13 }

　　顯然，這裡的步驟7被省略了。那麼應該如何分解子矩陣呢？如果我們重新建立12個子矩陣進行計算，那麼我們將花費O（n²）的時間來建立這些子矩陣。實際上，我們使用下標來對子矩陣進行標記，所需要的時間就是常數項時間即O（1），對遞迴所消耗的時間就毫無影響。

　　現在我們來推測一下該遞迴分治演算法的執行時間，令T（n）表示兩個n x n矩陣乘積的時間。對於第3~7行，所消耗的時間均為常數項時間。對於8~11行，所消耗的時間則為T（n/2），同時，要計算4次矩陣加法，所消耗的時間為O（n²），因此我們可以得到時間遞迴公式：

T（n） = 8T（n/2） + O（n²）

　　該遞迴公式的解為O（n³），並不優於直接對矩陣進行乘法運算。

　　下一次我將詳細介紹Strassen演算法的過程❤