前言

　　上一節我們詳細介紹了基本矩陣乘法和分治遞迴演算法，詳情可見”https://www.cnblogs.com/Bosson/p/14987366.html“。

　　這一節將詳細介紹Strassen演算法。

Strassen演算法

　　Strassen演算法目的是對分治遞迴演算法的遞迴樹進行剪枝，即從8次遞迴降為7次遞迴。

　　過程共有四個步驟：

• • 將A、B、C各自分解為4個子矩陣（與前述相同）
  • 建立10個同維度的矩陣S_i（i = 1~10），每個矩陣S_i儲存A和B的8個子矩陣之間的和或差，需要花費O(n²)
  • 利用上述的8個子矩陣和10個S_i矩陣，遞迴計算7個矩陣積P_j，時間遞迴演算法為T(n) = 7T(n/2) + O(n²
    )，解為O(n^lg7)
    
  • 通過對P_j的不同組合進行加減運算，計算出矩陣C的4個子矩陣，需要花費O(n²)

　　接下來開始介紹Strassen演算法的細節。

　　在步驟二中，我們需要建立10個S_i矩陣如下所示：

S₁ = B₁₂ - B₂₂

S₂ = A₁₁ + A₁₂

S₃ = A₂₁ + A₂₂

S₄ = B₂₁ - B₁₁

S₅ = A₁₁ + A₂₂

S₆ = B₁₁ + B₂₂

S₇ = A₁₂- A₂₂

S₈ = B₂₁ + B₂₂

S₉ = A₁₁ - A₂₁

S₁₀ = B₁₁ + B₁₂

　　在步驟三中，我們需要遞迴計算7次n/2 x n/2子矩陣的乘法，如下所示：

P₁ = A₁₁

P₂ = S₂ x B₂₂

P₃ = S₃ x B₁₁

P₄ = A₂₂ x S₄

P₅ = S₅ x S₆

P₆ = S₇ x S₈

P₇ = S₉ x S₁₀

　　在步驟四中，我們需要利用P_j矩陣進行加減法運算，計算出C的4個子矩陣，如下所示：

C₁₁ = P₅ + P₄ - P₂ + P₆

C₁₂ = P₁ + P₂

C₂₁ = P₃ + P₄

C₂₂ = P₅ + P₁ - P₃ - P₇

　　經過驗算，可以發現C的4個子矩陣結果與分治遞迴演算法中的結果是一致的。

總結

　　步驟三中遞迴式的解為O(n^lg7)，lg7 ≈ 2.81，即Strassen演算法的漸進複雜性低於直接的矩陣乘法計算過程，是矩陣乘法的一種時間上改進的方法。