演算法學習————SG函式和SG定理
阿新 • • 發佈：2021-07-09
其實我自己也不是很明白吧
SG函式應用的場景
組合遊戲
在競賽中，組合遊戲的題目一般有以下特點
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題目描述一般為A，B，2人做遊戲
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A，B交替進行某種遊戲規定的操作，每操作一次，選手可以在有限的操作（操作必須合法）集合中任選一種。
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對於遊戲的任何一種可能的局面，合法的操作集合只取決於這個局面本身，不取決於其它因素（跟選手，以前的所有操作無關）
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如果當前選手無法進行合法的操作，則為負
必勝點和必敗點的概念
必敗點(P點) 前一個(previous player)選手將取勝的點稱為必敗點
必勝點(N點) 下一個(next player)選手將取勝的點稱為必勝點
SG函式
先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3
對於任意狀態x，定義SG(x) = mex(S),其中S是x後繼狀態的SG函式值的集合。如x有三個後繼狀態a，b，c的SG值分別為SG(a)，SG(b)，SG(c)，那麼SG(x)=mex{SG(a)，SG(b)，SG(c)}。 這樣當我沒有後繼狀態的時候集合S的終態必然是空集，所以SG函式的終態為SG(x)=0，當且僅當x為必敗點P時。
雖然我也不知道為什麼要這麼求，但是數學就是這麼神奇呀
SG定理
遊戲和的SG函式等於各子游戲的SG函式的Nim和。
公式說明：\(SG(x_1,x_2,x_3\dots x_n) = SG(x_1)\bigoplus SG(x_2)\dots\bigoplus SG(x_n)\)
應用
具體怎麼應用呢？我可以遞迴求出一部分情況的SG值，然後瞪眼發現規律
例題：[SDOI2009]E&D
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