四邊形不等式與決策單調性

四邊形不等式

首先，給出四邊形不等式的定義：

定義一

設 \(w(x,y)\) 是定義在整數集合上的二元函式，若對於定義域上的任意整數 \(a,b\) ，其中有 \(a<b\) ，都有：

則稱函式 \(w\) 滿足四邊形不等式。

定義二

設 \(w(x,y)\) 是定義在整數集合上的二元函式，若對於定義域上的任意整數 \(a,b,c,d\) ，其中有 \(a\le b\le c\le d\) ，都有：

則稱函式 \(w\)

方便記憶：交叉小於包含

簡單證明一下定義二：

決策單調性

定義

形如 \(f[i]=min \{ f[j]+val(j,i) \} (0\le j\le i)\) 的狀態轉移方程，如果 \(p[i]\) 為狀態 \(f[i]\) 的決策，並且陣列 \(p\) 在 \([1,N]\) 上單調不減，簡稱 \(f\) 具有決策單調性。

還有一個性質，形如上述的狀態轉移方程中，若 \(val(j,i)\) 符合四邊形不等式，那麼 \(f\) 具有決策單調性。

看到最後的式子，即決策點 \(p[i]\) 一定不劣於決策點 \(j\) ，並且 \(j<p[i]\) ，即得證。

用法

顯然，最簡單的優化為將狀態轉移方程寫作：

即縮小了決策範圍，但這樣做卻不一定能更優，例如 \(p=\{ 1,1,1,1,1,1,1,1 \}\)

所以我們肯定存在其他方法。

當迴圈到某一個 \(i\) 時， 有可能 \(p=\{ j_1j_1j_2j_2j_2j_3j_3j_3j_4j_4j_5j_5j_5 \}\)

其中 \(j_1<j_2<j_3<j_4<j_5<i\)

當求解出 \(f[i]\) 後，我們即可以更新 \(p\) ，也就是找到一個點 \(k\)

這麼做相當於我們實現了動態更新 \(p\) 陣列。

但這個過程該如何實現呢？暴力的效率是相當低的，不能達到我們的優化目的。

考慮使用一個佇列代替 \(p\) 陣列，佇列中儲存若干個三元組 \((j,l,r)\) ，其中 \(j\) 為決策， \(l,r\) 為區間。

例如：

\(p=\{ j_1j_1j_2j_2j_2j_3j_3j_3j_4j_4j_5j_5j_5 \}\) 可以表示為 \((j_1,1,2)(j_2,3,5)(j_3,6,8)(j_4,9,10)(j_5,11,13)\)

當更新 \(i\) 的時候，發現 \((j_4,9,10)(j_5,11,13)\) 的左端點的決策都比 \(i\) 更劣，從佇列中將其刪去。但是 \((j_3,6,8)\) 左端點比 \(i\) 更優，右端點比 \(i\) 劣，那我們就二分找到一箇中間點更新即可。

如何通過這個佇列維護求解 \(f\) 陣列，實際上它是個動態更新的過程，但顯然前面已經使用過的都是我們不需要的，每次用完過後將其出隊，這樣每次更新 \(f\) 的值我們就只需要取出隊頭即可。

總結

上述過程有些凌亂，此部分梳理一下其具體過程

• 對於每個 $i\in [1,N] $ ，我們執行一下操作：

  • 檢查隊頭 \(( j_0,l_0,r_0 )\) ，若 \(r_0<i\) ，刪除隊頭，否則：\(l_0=i\) 。
  • 取出隊頭 \(j\) ，作為最優決策，算出 \(f[i]\) 。
  • 插入決策 \(i\)
    • 取出隊尾 \((j_t,l_t,r_t)\) 。
    • 如果對於 \(f[l_t]\) ，\(j_t\) 劣於 \(i\) ，即 \(f[i]+val(i,l_t) \le f[j_t]+val(j_t,l_t)\) ，刪除隊尾，記 \(pos=l_t\) 。
    • 如果對於 \(f[r_t]\) ，\(j_t\) 優於 \(i\) ，則將 \((i,pos,N)\) 插入隊尾，結束該過程。
    • 如果上述兩點都不滿足，則在 \([l_t,r_t]\) 中進行二分，找到最小 \(pos\) 滿足 \(f[i]+val(i,pos) \le f[j_t]+val(j_t,pos)\) ，則將 \((j_t,l_t,pos-1),(i,pos,N)\) 插入隊尾。

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海到無邊天作岸，山登絕頂我為峰！