記點結論，感覺證明很麻煩並且比較平凡就不記了。

定義

設函式 \(w(x,y)\)，其中 \(x,y\) 整數，若對於任意整數 \(a,b,c,d\)，滿足 \(a\leq b\leq c\leq d\)，都有 \(w(a,c)+w(b,d)\leq w(a,d)+w(b,c)\) 成立，則稱 \(w\) 滿足四邊形不等式。

簡記為：交叉小於等於包含。

定理一

若對於任意正整數 \(a,b\)，滿足 \(a<b\)，都有 \(w(a,b)+w(a+1,b+1)\leq w(a,b+1)+w(a+1,b)\) 成立，則 \(w\) 滿足四邊形不等式。

當 \(a+1<c\) 時，由條件得 \(C+B\leq A+D,D+E\leq B+F\)

，兩式相加化簡可得 \(C+E\leq A+F\)，以此類推，對於 \(a\leq b\leq c\) 都有 \(w(a,c)+w(b,c+1)\leq w(a,c+1)+w(b,c)\) 成立。

同理，對於所有 \(a\leq b\leq c\leq d\)，都有 \(w(a,c)+w(b,d)\leq w(a,d)+w(b,c)\) 成立。

證畢

1D1D問題的優化。

決策單調性：設 \(p_i\) 為 \(f_i\) 最優轉移的位置（決策點），\(p\) 單調不降即為具有決策單調性。

一般地，對於 \(f_i=\min\{f_j+w(j,i)\}\) 的狀態轉移方程，若 \(w\) 滿足四邊形不等式，則 \(f\)

考慮維護 \(p\) 陣列，初始全為 \(0\)，從前往後計算完 \(f_i\) 時，\(f_i\) 會更新一個字尾的 \(p\)。

暴力做這個東西非常完蛋，考慮將 \(p\) 的一段段連續區間看成一個拿下來放到一個單調棧裡，二分單調棧的位置，使得前半部分用 \(i\) 轉移不比之前的 \(p\) 優，後半部分用 \(i\) 轉移比之前的 \(p\) 更優，如果需要斷開就斷開，然後把字尾的都彈出來，壓入新的這個字尾。

當然，dp 到 \(i\) 時 \(<i\) 的 \(p\) 是不需要的，所以可以把單調棧改成單調佇列。

每次最多隻會壓入一個點代表的區間，均攤下來，加上二分，複雜度時 \(\mathcal{O}(n\log n)\)

慄題一：[NOI2009] 詩人小G