傳送門

【題意】

給定 \(n\) 個空位待填的圓環，每個空位可以填入紅、藍、綠任一顏色的珠子。問不同構的方案數為多少？

題目認為旋轉、沿座標軸翻轉後相同的兩個方案是同構的。

\(n<24\)

【分析】

比較裸的 Polya 定理

旋轉和翻轉，以及這兩個變換的運算構成一個群 \(G\) 。

而原本的翻轉只能沿座標軸翻轉，但我們考慮先將圓環旋轉 \(-\theta\) 度的變換 \(rot_{-\theta}\)，再沿 \(x\) 軸翻轉 \(sym_0\) ，最後再旋轉 \(\theta\) 度 \(rot_{\theta}\) ，則等價於圓環沿 \(\theta\) 的這條極徑進行了翻轉 \(sym_{\theta}\)

由於 \(rot_{\theta}, sym_{0}, rot_{-\theta}\in G\)， 根據運算的封閉性，\(sym_{\theta}\in G\) 。即群內包括了任意角度的旋轉，和任意角度的翻轉。

現考慮到旋轉角度只有 \(k\cdot {2\pi\over n}, k\in\{0, 1, 2, \cdots, n-1\}\) 時才有意義，翻轉角度只有 \(k\cdot {\pi\over n}, k\in\{0, 1, 2, \cdots, 2n-1\}\)

當旋轉角度為 \(k\cdot {2\pi\over n}\) 時，構成置換 \(\left( \begin{matrix} 1&2&3&\cdots &n-k&n-k+1&\cdots &n \\\\ k+1&k+2&k+3&\cdots&n&1&\cdots &k \end{matrix} \right)\)，可拆解成 \(\gcd(k, n)\) 個不可拆解的置換