卡了我三個小時的數論簽到題

題面看這裡

題目大意

給你一個一天有 \(H\)​​​​​​​ 小時、一小時有 \(M\)​​​​​​​​ 分鐘的表和一個正整數 \(A\)​，問一天內有多少個整數時刻，使得分針與時針的夾角小於等於 \(\displaystyle\frac{2\pi A}{HM}\)​。

題目分析

分針轉速 \(w_1=\displaystyle \frac{2\pi}{M}\)​​​​​，時針轉速 \(w_2=\displaystyle\frac{2\pi}{HM}\)​​​​，當前時刻為 \(T\)​​​​；

一天有 \(HM\)​​​​ 個整數時刻，即 \(T\in[0,HM)\)​​​​；

於是對於每一個時刻，我們判斷一下兩個指標的夾角 \(\theta\)

​​​​​ 是否小於等於 \(\displaystyle\frac{2\pi A}{HM}\)​​​​​​​​​ ，滿足就貢獻加加，最後輸出總貢獻即可。

方法一：數論

顯然有：

\[\theta=(w_1-w_2)T=\displaystyle\frac{2\pi(H-1)T}{HM}​ \]

注意到 \(\theta\in[0,2\pi]\)​​，所以還要對 \(2\pi\)​​ 取個模（分針轉一圈又轉回來了），即：

\[\theta=\displaystyle\frac{2\pi(H-1)T}{HM}\mod{2\pi} \]

同時因為兩個指標之間的夾角可以選到兩個數值，逆時針轉有一個夾角，順時針轉有一個夾角，這裡我們肯定是選更小的角來判斷是否滿足條件，即最終我們要求的是：

\[\sum_{T=0}^{HM}[\ \min(\theta,2\pi-\theta)\leq\frac{2\pi A}{HM}\ ] \]

可以轉化為：

\[\sum_{T=0}^{HM}[\ \theta\leq\frac{2\pi A}{HM}\or\theta\ge2\pi-\frac{2\pi A}{HM}\ ] \]

把 \(\theta=\displaystyle\frac{2\pi(H-1)T}{HM}\mod{2\pi}\) 代入並化簡得：

\[\sum_{T=0}^{HM}[\ T(H-1)\mod{HM}\leq A\or T(H-1)\mod{HM}\geq HM-A\ ] \]

此時我們其實就可以把 \(HM\)

​​​ 看作是 \(2\pi\)​​​，\(H-1\)​​ 看作是每過一個時刻兩個指標夾角的變化量。

當 \(A=HM/2\)​​​ 時，問題等價於”一天內有多少個整數時刻，使得分針與時針的夾角小於等於 \(\pi\)​​“，顯然每個時刻都滿足（如果順時針看夾角大於 \(\pi\)​​，那逆時針看一定小於，反之亦然），此時答案為 \(HM\)​​；

當\(A\neq HM/2\)​ 時，若有 \(T(H-1)\mod{HM}\leq A\)​，則一定不會有 \(T(H-1)\mod{HM}\geq HM-A\)​​​​，所以答案就是這兩部分的貢獻相加。

我們令 \(G=\gcd(H-1,HM)\)。

先計算式子的左邊：

\[\sum_{T=0}^{HM}[\ T(H-1)\mod{HM}\leq A\ ] \]

當 \(G=1\)​​​​ 時 ，因為 \(T\in[0,HM)\)​​​​，由同餘的性質可得 \(T(H-1)\mod{HM}\)​​​​ 一定取遍了 \(0\sim HM\)​​​​ 的每個數，即構成一個模 \(HM\)​​​​ 的完全剩餘系，此時這部分的貢獻就是 \(A+1\)​​​​​。

當 \(G\neq1\)​​​​ 時，我們利用同餘的另一個性質： \(\displaystyle ac\equiv bc\pmod d\iff a\equiv b\pmod{\frac{d}{(c,d)}}\)​​​​，把式子轉化為：

\[\sum_{T=0}^{HM}[\ \frac{T(H-1)}{G}\mod{\frac{HM}{G}}<=\lfloor\frac AG\rfloor\ ] \]

相當於我們把 \(T\in[0,HM)\)​​​​​ 平均分成了 \(G\)​​​​​ 段，且每段的 \(T\mod\displaystyle\frac{HM}G\)​​​​​ 都取到了 \(0\sim \displaystyle\frac{HM}G\)​​​​​ 的每個數，同時有 \(\gcd(\displaystyle\frac{H-1}G,\displaystyle\frac{HM}G)=1\)​​​​​，因此這裡的每一小段，其實就等價於上面 \(G=1\)​​​​​ 的情況，只是 \(T\)​​​ 的範圍和模數變了下而已，此時每一小段都造成了 \(\displaystyle \lfloor\frac AG\rfloor+1\)​​​ 的貢獻，總貢獻就是 \(G*(\displaystyle \lfloor\frac AG\rfloor+1)\)​​​​​​​。

再看式子右邊：

\[\sum_{T=0}^{HM}[\ T(H-1)\mod{HM}\geq HM-A\ ] \]

同樣地，當 \(G=1\)​​​​ 時，跟上面一樣分析一波，發現其實是等價的（這裡顯然具有對稱性），只不過因為 \(T\)​​​​ 不能取到 \(HM\)​​​​，所以貢獻只有 \(A\)（\([HM-A,HM-1]\) 共有 \(A\) 個數）​​​​。

當 \(G\neq1\) 時，也同上，把 \(T\) 分成 \(G\) 段，總貢獻是 \(G*\displaystyle \lfloor\frac AG\rfloor\)。

因此答案就是：\(G*(\displaystyle 2\lfloor\frac AG\rfloor+1)\)​

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	long long H,M,A;
	cin >> H >> M >> A;
	if(H*M==A*2){
		cout << H*M;
	}
	else {
		long long G=__gcd(H-1,H*M);
		cout << G*(2*(A/G)+1);
	}
}

方法二：類歐幾里得

待填坑~~