題面

不難發現每個物品的存在時間是一個區間，於是離線可以考慮線段樹分治直接解決。

線上做法比較新奇，用兩個棧模擬雙端佇列。

具體的，維護兩個棧 \(stkl\) 和 \(stkr\)，在開頭和結尾插入刪除就直接在這兩個棧中分別 push 和 pop。

如果出現刪除時某個棧空了，那麼直接暴力重構這兩個棧使得這兩個棧大小之差最小。

這樣做為什麼是對的呢？

設 \(w\) 為兩棧的大小之差，那麼一次正常的插入刪除只會讓 \(w\) 變化 \(1\)，而重構平均分配的操作會用 \(\cal{O}(w)\) 的複雜度使 \(w\) 變成 \(0\) 或 \(1\)。均攤下來複雜度是 \(\cal{O}(m)\)

在操作過程中順便維護一下揹包陣列 \(dpl\) 和 \(dpr\)。

求答案時維護一個數組 \(mxr_{i,j}\) 表示 \([i,i+2^j]\) 的範圍中 \(dpr\) 的最大值，列舉 \(stkl\) 中選多少個然後分類討論求一下 max 即可。

具體實現細節參考 程式碼。