Loj#6503-「雅禮集訓 2018 Day4」Magic【分治NTT】
阿新 • • 發佈:2021-08-12
正題
題目大意
\(n\)張卡\(m\)種,第\(i\)種卡有\(a_i\)張,求所有排列中有\(k\)對相鄰且相同的卡牌。
\(1\leq n\leq 10^5,0\leq k\leq 10^5,1\leq m\leq 20000,\sum_{i=1}^ma_i=n\)
解題思路
\(k\)對相鄰的相同,就是可以分成有\(n-k\)組相同的。
考慮這個問題,把每組牌分成若干組插到不同位置,先不考慮這樣可能插到相鄰位置的情況我們後面可以再用容斥消掉。
那麼對於一個\(a\),分成\(i\)組的方案就是\(\binom{a-1}{i-1}\),因為排列,列出生成函式\(\sum_{i=1}^a\binom{a-1}{i-1}\frac{x^i}{i!}\)
然後用分治\(NTT\)乘起來,最後第\(i\)項乘上一個\(i!\)就是方案了。
然後考慮容斥,列舉一個\(i\leq n-k\)然後相當於至少有\(k\)對相鄰,現在要減去更多的,所以容斥係數就是\((-1)^{n-k-i}\binom{n-i}{k}\)
時間複雜度\(O(n\log n\log m)\)
code
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=2e5+10,T=19,P=998244353; struct Poly{ ll a[N<<2],n; }F[T+1];bool v[T+1]; ll m,n,k,w[N],inv[N],fac[N],r[N],x[N],y[N]; ll power(ll x,ll b){ ll ans=1; while(b){ if(b&1)ans=ans*x%P; x=x*x%P;b>>=1; } return ans; } void NTT(ll *f,ll n,ll op){ for(ll i=0;i<n;i++) if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]); for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p); if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2); for(ll k=0;k<n;k+=p){ ll buf=1; for(ll i=k;i<k+len;i++){ ll tt=buf*f[i+len]%P; f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P; f[i]=(f[i]+tt)%P; buf=buf*tmp%P; } } } if(op==-1){ ll invn=power(n,P-2); for(ll i=0;i<n;i++) f[i]=f[i]*invn%P; } return; } void Mul(Poly &F,Poly &G){ ll n=1; while(n<F.n+G.n-1)n<<=1; for(ll i=0;i<F.n;i++)x[i]=F.a[i]; for(ll i=0;i<G.n;i++)y[i]=G.a[i]; for(ll i=F.n;i<n;i++)x[i]=0; for(ll i=G.n;i<n;i++)y[i]=0; for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0); NTT(x,n,1);NTT(y,n,1); for(ll i=0;i<n;i++)x[i]=x[i]*y[i]%P; NTT(x,n,-1); for(ll i=0;i<n;i++)F.a[i]=x[i]; F.n=F.n+G.n-1;return; } ll FindA(){ for(ll i=0;i<T;i++) if(!v[i]){v[i]=1;return i;} } ll C(ll n,ll m) {return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;} ll NTT(ll l,ll r){ if(l==r){ ll x=FindA(); for(ll i=1;i<=w[l];i++) F[x].a[i]=inv[i]*C(w[l]-1,i-1)%P; F[x].n=w[l]+1;return x; } ll mid=(l+r)>>1; ll ls=NTT(l,mid),rs=NTT(mid+1,r); Mul(F[ls],F[rs]);v[rs]=0;return ls; } signed main() { scanf("%lld%lld%lld",&m,&n,&k);inv[1]=1; for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P; fac[0]=inv[0]=1; for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P; for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",&w[i]); ll p=NTT(1,m),ans=0; for(ll i=n-k,f=1;i>=m;i--,f=-f) ans=(ans+f*F[p].a[i]*fac[i]%P*C(n-i,k)%P)%P; printf("%lld\n",(ans+P)%P); return 0; }