關於點分樹的一些理解

定義與性質

點分樹，就是把點分治中的每一次的重心連起來，構成一棵樹。
由於重心的性質，點分治最多有 \(\lg n\) 層, 所以點分樹的樹高最多是 \(\lg n\)

維護

一般維護兩個值 \(s1\) 和 \(s2\) ，\(s1\) 表示這個點的子樹對於這個點的貢獻， \(s2\) 表示這個點的子樹對於這個點的父親的貢獻。\(s2\) 用於對 \(s1\) 進行容斥

每次修改時要在點分樹上不斷跳父親，修改點分樹上父親的資訊。

每次查詢時要在點分樹上不斷跳父親，詢問點分樹上父親的資訊，一般要用到容斥。用 \(s2\) 容斥 \(s1\)

具體看了題就理解了。

用途

一般用於靜態條件下點分治可解，但是強制線上或帶修的題。

注意事項

點分樹上的位置關係，距離關係，父子關係，祖孫關係，和原樹上不同。

luogu6329震波

標籤

點分治， 樹狀陣列

思路

先考慮不帶修的情況，那這就是道點分治裸題，但是這道題要求支援修改且強制線上。那麼點分治就不能用了。

所以我們要用點分樹。

對於每一個節點維護兩棵樹狀陣列 (\(vector\) 存) , \(s1\) 維護距離當前點距離為 \(k\) 的點的價值和, \(s2\) 維護距離當前點的點分樹上的父親距離為 \(k\) 的點的價值和。

對於修改操作，改成增加，然後在點分樹上不斷跳父親，修改 \(s1\) 和 \(s2\) 。

對於查詢操作，在點分樹上不斷跳父親，設詢問點和父親的距離為 \(d\)

維護兩棵樹狀陣列多麻煩啊，直接 \(s1[fa[i]].query(k - d) - s1[i].query(k - d - dis(i, fa[i]))\) 或者 \(s1[fa[i]].query(k - d) - s1[i].query(k - dis(i, x))\) 多方便，然而要注意 點分樹上的位置關係，距離關係，父子關係，祖孫關係，和原樹上不同。 所以這樣做是錯誤的。

Code

[ZJOI2007]捉迷藏