(十九)查詢演算法——斐波那契(黃金分割法)查詢
阿新 • • 發佈:2021-07-14
###1.斐波那契(黃金分割法)查詢基本介紹:
- 黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分,使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。取其前三位數字的近似值是 0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗,因此稱為黃金分割,也稱為中外比。這是一個神奇的數字,會帶來意向不大的效果。
- 斐波那契數列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 發現斐波那契數列的兩個相鄰數 的比例,無限接近 黃金分割值0.618
###2.斐波那契(黃金分割法)原理: 斐波那契查詢原理與前兩種相似,僅僅改變了中間結點(mid)的位置,mid 不再是中間或插值得到,而是位於黃金分割點附近,即 mid=low+F(k-1)-1(F 代表斐波那契數列),如下圖所示
- 對 F(k-1)-1 的理解:
- 由斐波那契數列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性質,可以得到 (F[k]-1)=(F[k-1]-1)+(F[k-2]-1)+1 。該式說明:只要順序表的長度為 F[k]-1,則可以將該表分成長度為 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的兩段,即如上圖所示。從而中間位置為 mid=low+F(k-1)-1
- 類似的,每一子段也可以用相同的方式分割
- 但順序表長度 n 不一定剛好等於 F[k]-1,所以需要將原來的順序表長度 n 增加至 F[k]-1。這裡的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大於或等於 n 即可,由以下程式碼得到,順序表長度增加後,新增的位置(從 n+1 到 F[k]-1 位置),都賦為 n 位置的值即可。 while(n>fib(k)-1) k++;
###3.斐波那契查詢應用案例: 請對一個 有序陣列進行斐波那契查詢 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ,輸入一個數看看該陣列是否存在此數,並且求出下標,如果沒有就提示"沒有這個數"。
- 程式碼實現(韓老師)
import java.util.Arrays; public class FibonacciSearch { public static int maxSize = 20; public static void main(String[] args) { int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234}; System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 189));// 0 } //因為後面我們 mid=low+F(k-1)-1,需要使用到斐波那契數列,因此我們需要先獲取到一個斐波那契數列 //非遞迴方法得到一個斐波那契數列 public static int[] fib() { int[] f = new int[maxSize]; f[0] = 1; f[1] = 1; for (int i = 2; i < maxSize; i++) { f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]; } return f; } //編寫斐波那契查詢演算法 //使用非遞迴的方式編寫演算法 /** * @param a 陣列 * @param key 我們需要查詢的關鍵碼(值) * @return 返回對應的下標,如果沒有-1 */ public static int fibSearch(int[] a, int key) { int low = 0; int high = a.length - 1; int k = 0; //表示斐波那契分割數值的下標 int mid = 0; //存放 mid 值 int f[] = fib(); //獲取到斐波那契數列 //獲取到斐波那契分割數值的下標 while (high > f[k] - 1) { k++; } //因為 f[k] 值 可能大於 a 的 長度,因此我們需要使用 Arrays 類,構造一個新的陣列,並指向 temp[] //不足的部分會使用 0 填充 int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]); //實際上需求使用 a 陣列最後的數填充 temp //舉例: //temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0} => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,} for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) { temp[i] = a[high]; } // 使用 while 來迴圈處理,找到我們的數 key while (low <= high) { // 只要這個條件滿足,就可以找 mid = low + f[k - 1] - 1; if (key < temp[mid]) { //我們應該繼續向陣列的前面查詢(左邊) high = mid - 1; //為甚是 k-- //說明 //1. 全部元素 = 前面的元素 + 後邊元素 //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2] //因為 前面有 f[k-1]個元素,所以可以繼續拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3] //即 在 f[k-1] 的前面繼續查詢 k-- //即下次迴圈 mid = f[k-1-1]-1 k--; } else if (key > temp[mid]) { // 我們應該繼續向陣列的後面查詢(右邊) low = mid + 1; //為什麼是 k -=2 //說明 //1. 全部元素 = 前面的元素 + 後邊元素 //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2] //3. 因為後面我們有 f[k-2] 所以可以繼續拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4] //4. 即在 f[k-2] 的前面進行查詢 k -=2 //5. 即下次迴圈 mid = f[k - 1 - 2] - 1 k -= 2; } else { //找到 //需要確定,返回的是哪個下標 if (mid <= high) { return mid; } else { return high; } } } return -1; } }
- 程式碼實現(自己)
/**
* 斐波那契查詢
*/
public class FibonacciSearch {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};
int index = fibSearch(arr, 89);
System.out.println("index:" + index);
}
/**
* 獲取斐波那契查數列
*
* @return
*/
public static int[] fib() {
int[] f = new int[20];
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i < f.length; i++) {
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
return f;
}
/**
* 斐波那契查詢
*
* @param arr
* @param findVal
* @return
*/
public static int fibSearch(int[] arr, int findVal) {
int low = 0;
int high = arr.length - 1;
int[] f = fib();
int k = 0;
while (arr.length > f[k]) {
k++;
}
int[] temp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);
for (int i = arr.length; i < temp.length; i++) {
temp[i] = arr[arr.length - 1];
}
int mid;
while (low <= high) {
mid = low + f[k - 1] - 1;
if (findVal < temp[mid]) {
high = mid - 1;
k -= 1;
} else if (findVal > temp[mid]) {
low = mid + 1;
k -= 2;
} else {
if (mid <= high) {
return mid;
} else {
return high;
}
}
}
return -1;
}
}