正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P4180

題目大意

\(n\)個點\(m\)條邊的一張無向圖，求它的嚴格次小生成樹。

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 3\times 10^5\)

解題思路

一定存在一種嚴格次小生成樹和最小生成樹只差一條邊，感性理解的話大概就是如果有兩條不同那麼肯定有一條可以替換成另一條要麼更優要麼不變。

所以我們可以列舉一條不選的邊\((u,v,w)\)然後找到最小生成樹上\(u,v\)路徑最大的權值\(k\)替換。

但是發現有可能恰好\(w=k\)，所以我們不只需要統計最大的權值，還要統計一個嚴格次大的，如果等於就選擇嚴格次大的。

時間複雜度\(O(n\log n)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,T=18;
struct enode{
	ll x,y,w,v;
}e[3*N];
struct node{
	ll to,next,w;
}a[N<<1];
ll n,m,tot,ls[N],fa[N],dep[N];
ll ans,sum,f[N][T],g[N][T][2];
bool cmp(enode x,enode y)
{return x.w<y.w;}
ll find(ll x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
void addl(ll x,ll y,ll w){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;a[tot].w=w;
	return;
}
void dfs(ll x,ll fa){
	dep[x]=dep[fa]+1;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==fa)continue;
		f[y][0]=x;g[y][0][0]=a[i].w;
		dfs(y,x);
	}
	return;
}
void calc(ll &mx,ll &mi,ll x){
	if(x>mx)mi=mx,mx=x;
	else if(x>mi&&x!=mx)mi=x;
	return;
}
void calccc(ll x,ll y,ll w){
	if(x==y)return;
	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
	ll mx=-1,mi=-1;
	for(ll i=T-1;i>=0;i--)
		if(dep[f[y][i]]>=dep[x]){
			calc(mx,mi,g[y][i][0]);
			calc(mx,mi,g[y][i][1]);
			y=f[y][i];
		}
	if(x!=y){
		for(ll i=T-1;i>=0;i--)
			if(f[x][i]!=f[y][i]){
				calc(mx,mi,g[x][i][0]);
				calc(mx,mi,g[x][i][1]);
				calc(mx,mi,g[y][i][0]);
				calc(mx,mi,g[y][i][1]);
				x=f[x][i];y=f[y][i];
			}
		calc(mx,mi,g[x][0][0]);
		calc(mx,mi,g[x][0][1]);
		calc(mx,mi,g[y][0][0]);
		calc(mx,mi,g[y][0][1]);
	}
	if(w!=mx)ans=min(ans,sum+w-mx);
	else if(mi>=0)ans=min(ans,sum+w-mi);
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=m;i++)
		scanf("%lld%lld%lld",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(ll i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
		if(x==y)continue;
		addl(e[i].x,e[i].y,e[i].w);
		addl(e[i].y,e[i].x,e[i].w);
		fa[x]=y;e[i].v=1;sum+=e[i].w;
	}
	memset(g,-1,sizeof(g));
	dfs(1,1);
	for(ll j=1;j<T;j++)
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
			calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[i][j-1][0]);
			calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[i][j-1][1]);
			calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[f[i][j-1]][j-1][0]);
			calc(g[i][j][0],g[i][j][1],g[f[i][j-1]][j-1][1]);
		}
	ans=1e18;
	for(ll i=1;i<=m;i++)
		if(!e[i].v)calccc(e[i].x,e[i].y,e[i].w);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}