博弈論（SG函式）

SG函式

我們研究這樣一種遊戲，它滿足以下三個性質：

1. 由 2 名玩家交替行動
2. 在遊戲程序的任意時刻，可以執行的合法行動與這位玩家無關
3. 不能行動的玩家判負

那麼這個遊戲被稱為公平組合遊戲。當兩名玩家均採取最優策略時，遊戲的勝負只和遊戲的初始情況有關，和玩家的選擇無關（在採取最優策略的情況下）。

我們發現，這類遊戲由於性質2，所以遊戲似乎可以不記錄玩家的狀態，只記錄遊戲目前的情況，那麼我們似乎可以將其視為一種類 DP 問題，將遊戲的狀態使用多維陣列甚至狀壓來儲存下來，隨後通過不斷轉移來求解。實際上，它們有一個更為抽象的表達形式：有向圖遊戲。

給定一個有向無環圖，圖中有一個唯一的起點，在起點上有一個棋子。兩名玩家交替的把這枚棋子沿有向邊移動，無法移動者判負。顯然的，所有公平組合遊戲都可以轉化為有向圖遊戲。

根據前面知識，我們推測圖上的每個點都具有必勝或者必敗兩種狀態，可以進行黑白染色。顯然，如果一個點可前往的任何點都是必勝點（或者沒有點可走），那麼它就是一個必敗點；相反，如果它可以前往任意一個必敗點，那麼他就是一個必勝點。

我們有一個更好的方法來表示一個點的必勝或者必敗：我們假設 \(S\) 是一個集合，那麼定義 \(\operatorname{mex}(S)\) 為求出不屬於集合 \(S\) 的最小非負整數的運算，也就是

\[\operatorname{mex}(S)=\min_{x\in \N,x\notin S}\{x\} \]

這時候，對於每個節點 \(x\)，我們記它的所有後繼節點為 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\)

，那麼有

\[\operatorname{SG}(x)=\operatorname{mex}\{\operatorname{SG}(y_1),\operatorname{SG}(y_2),\cdots,\operatorname{SG}(y_n)\} \]

特別的，整個有向圖遊戲的 SG 函式值為起點的 SG 函式值。

那麼，我們不難得出定理：

1. 有向圖的某個局面必勝，但且僅當對應節點的 SG 函式值大於 0
2. 有向圖的某個局面必敗，但且僅當對應節點的 SG 函式值為 0

Nim遊戲

給定 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆石子有 \(a_i\) 個石子。兩名玩家輪流行動，每次可以任選一堆，從中拿走任意個石子（可以全部拿完，但不可以不拿）。取走最後的石子者獲勝（也就是說無法再拿石子的人會輸）。在兩者均採取最優策略的情況下，問先手是否必勝。

如果使用樸素的轉移方法，那麼時空複雜度至少為 \(O(\prod\limits_{i=1}^na_i)\)，是比較難以承受的（還不太好寫）。但慶幸的是，這題有一個很樸素的解法：

定理

Nim 博弈先手必勝，當且僅當

\[\operatorname{f}= a_1 \operatorname{xor} a_2 \operatorname{xor} \cdots \operatorname{xor} a_n\not= 0 \]

證明

當 \(a_i\) 均為 0 時，此時所有物品被取光，此時 \(\operatorname{f}=0\) 。

對於某個局面， 倘若 \(\operatorname{f}=x\not= 0\)，我們記 \(x\) 的二進位制表示下 1 的最高位在第 k 位，那麼至少存在一堆石子 \(a_i\)，使得其二進位制下第 k 位為 1。顯然 \(a_i \operatorname{xor} x < a_i\) ，所以我們只需要將這對石子拿到 \(a_i \operatorname{xor} x\) 個，那麼就可以使得 \(\operatorname{f} = x \operatorname{xor} a_i\operatorname{xor}a_i \operatorname{xor} x=0\)。

相反，對於某個局面，如果\(\operatorname{f}=0\)，那麼無論怎麼取，新的 \(\operatorname{f}\) 都一定不為 0（涉及亦或的相關知識，可以使用反證法證明）。

根據數學歸納法，我們發現當 \(\operatorname{f}=0\) 時先手必敗，因為無論怎麼走都會使得下一個狀態的 \(\operatorname{f}\) 不為 0；反之，\(\operatorname{f}\not= 0\) 時先手必勝，因為必然存在一種使下一個狀態的 \(\operatorname{f}\) 為 0 的狀態。

與 SG 函式的關係

不難發現，\(\operatorname{f}\) 就是這個遊戲的 SG 函式。

多個有向圖遊戲

假設 \(G_1,G_2,\cdots,G_n\) 是 \(n\) 個有向圖遊戲，他們共同組成了一個大有向圖遊戲 \(G\)。兩名玩家輪流進行，每次選一個子遊戲來玩一把，當某個人無法進行任何子游戲時，他將輸掉總遊戲 \(G\)。

有向圖遊戲的和的 SG 函式值等於各個子游戲的 SG 函式值的異或和，也就是

\[\operatorname{SG}(G)=\operatorname{SG}(G_1)\operatorname{xor}\operatorname{SG}(G_2)\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}\operatorname{SG}(G_n) \]

證明方法和 Nim 遊戲的證明方式類似，不再贅述（其實我也一時不知道咋證明）。

用子游戲的性質來證明 Nim 遊戲定理

我們發現，Nim 遊戲就可以視作 \(n\) 個子遊戲：假設在每某子游戲中，有 \(m\) 個石子，每次可以選取拿走任意數量的石子，那麼我們不難發現，有

\[\operatorname{SG}(m)=\operatorname{SG}(m-1)\operatorname{xor}\operatorname{SG}(m-2)\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}\operatorname{SG}(0) \]

通過逆推發現， \(\operatorname{SG}(x)=x\)，所以第 i 個遊戲中，石子堆有 \(a_i\) 個石子，這個子游戲的 SG 值為 \(a_i\)，所以總遊戲的 SG 值就是 \(a_1 \operatorname{xor} a_2 \operatorname{xor} \cdots \operatorname{xor} a_n\)。通過這種方法，我們從另一角度得到了 Nim 定理。