博弈論之SG函式
參考自《演算法競賽進階指南》
\(NIM\)博弈：
\(n\)堆物品，第\(i\)堆物品有\(A_i\)個。兩名玩家輪流行動，每次可以任選一堆，取走任意多個物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最後一件物品的人獲勝。假設兩人每一步都必然採取最優的策略。問先手是否必勝。
定理：
若先手必贏，那麼當且僅當滿足：\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n != 0\)
兩個概念：
必敗局面：若某一局面無論採取什麼行動，都會輸掉遊戲，則稱該局面必敗。
必勝局面：若在某一局面下采取某種行動後可以使對手面對必敗局面，那麼優先採取此行動，那麼這種局面叫必勝局面。
證明：
- 如果所有物品被取光，那麼即\(A_i = 0\)，那麼這是一個必敗局面，則滿足:\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n == 0\)
- 對於任意一個\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n = x != 0\)局面，那麼我們應該證明它一定可以採取一定行動來出現\(x = 0\)的局面。
- 設\(x\)的二進位制表示下最高位的\(1\)在第\(k\)位，那麼至少存在一堆石子\(A_i\)，它的第\(k\)位是\(1\)，顯然\(A_i \,\, xor \,\, x \,\, < \,\, A_i\)，然後我們便可以從\(A_i\)中取走\(A_i - A_i \,\, xor \,\, x\)個石子，使這堆石子變為\(A_i \,\, xor \,\, x\)個石子，那麼代入式子得：\(x \,\, xor \,\, x = 0\)
- 對於任意一個\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n = x == 0\)局面，那麼我們應該證明無論採取什麼行動都不可能出現出現\(x = 0\)的局面。
- 用反證法證明：假設\(A_i\)被取成了\(A_i'\)，那麼此時就應該滿足\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_i', \,\, ... \,\, xor \,\, A_n != 0\)，由於\(A_1 \,\, xor \,\, A_2 \,\, xor \,\, A_3 \,\, ... \,\, xor \,\, A_n == A_i\)， 那麼則出現了\(A_i \,\, xor \,\, A_i' == 0\)得情況，說明\(A_i == A_i'\)，那麼這顯然不對與題目要求“不能不取石子”矛盾。
Mex運算
設\(S\)表示一個非負整數集合。定義\(mex(S)\)為求出不屬於集合S得最小非負整數的運算，即：
\[mex(S) \,\, = \min\limits_{x \in N, x \notin S}\{x\} \]SG函式
有向圖中，對於每個節點\(x\)，設從\(x\)出發共有\(k\)條有向邊，分別到達節點\(y_1, y_2, ..., y_k\)，定義\(SG(x)\)為\(x\)的後繼節點\(y_1, y_2, ..., y_k\)的\(SG\)函式值構成的集合，再執行\(mex\)運算，即：
\[SG(x) = mex({SG(y_1), SG(y_2), ... ,SG(y_k)}) \]整個有向圖的\(SG\)函式就是圖的起點的\(SG\),\(SG(G) = SG(s)\)
那麼多個有向圖的遊戲中，行動規則是任選一個有向圖\(G_i\)，並在\(G_i\)中行動一步，那麼類比於\(NIM\)遊戲，如果滿足：
\[SG(G) \,\, = \,\, SG(G1) \,\, xor \,\, SG(G2) \,\, xor \,\, ... \,\, SG(G_m) == 0 \]那麼此時是必勝局面，證明方法與\(NIM\)博弈類似
否則必敗局面。
理解：
在一個沒有出邊的節點上，不能進行任何操作，那麼它的\(SG = 0\)，此時就是必敗局面。
對於一個節點的某一個後繼節點\(SG = 0\)的情況，在\(mex\)運算後，該節點\(SG > 0\)，那麼等價於當前局面是必勝局面，因為後繼介面是必敗介面。
對於一個節點的後繼節點\(SG\)均不為\(0\)，在\(mex\)運算後，該節點\(SG\)值為\(0\)，那麼當前就是一個必敗介面。
理論部分結束！
後邊新學知識我再補上。