P7100 [w3R1] 團

題目大意：

有一個\(n\)個節點的無向帶權圖，由\(k\)個集合組成，每個集合\(S_i\)中有一些點\(\lbrace(T_1,W_1),(T_2,W_2),...,(T_{\left|S_i\right|},W_{\left|S_i\right|})\rbrace\)，集合中的任意兩點都有一條連線\(T_i,T_j\)的無向邊，邊權為\(W_i+W_j\)。我們要求 \(1\) 到 \(i\) 的最短路。

solution:

tf老師說：“圖論題，建完圖後打個模板就行了。”，所以我們考慮如何建圖。

暴力地去想，對於每個集合中的點\(T_i\)，我們可以從\(T_i\)

時間複雜度爆炸：\(O(k|S_i^2|)\)

所以我們考慮，在每個集合中新添一個虛擬節點\(T_{n+i}\)，其點權\(W_{i+n}\)為0，再向其他點\(T_j\)連邊。
如下圖：

時間複雜度：\(O(k|S_i|)\)

正確性證明：

我們舉個例子，原圖中\(3\rightarrow4\)的路徑被拆成了\(3\rightarrow7\rightarrow4\)，邊權和仍為\(3\)。我們這個過程的實質就是將一條邊拆成兩條邊。

接下來，我們打上最短路模板 \(\text{dijkstra}\) 堆優化或者\(\text{SPFA}\)

細節處理：

總路徑長有可能超\(\text{int}\)，所以要開\(\text{long}\) \(\text{long}\)。\(dis\)陣列要初始化成\(\text{0x3f3f3f3f3f3f3f3f}\)

看到這的同學，可以自己去寫程式碼了(tf口吻)

End