差分約束

差分約束系統 是一種特殊的 \(n\) 元一次不等式組，它包含 \(n\) 個變數， 以及 \(m\) 個約束條件，每個約束條件是由兩個其中的變數做差構成的，形如 \(x_i-x_j\leq c_k\)。
我們要解決的問題是：求一組解 ，使得所有的約束條件得到滿足，否則判斷出無解。

差分約束系統中的每個約束條件 \(x_i-x_j\leq c_k\) 都可以變形成 \(x_i\leq x_j+c_k\) ，這與單源最短路中的三角形不等式 \(dis[\,y\,]\leq dis[\,x\,]+z\) 非常相似。因此，我們可以把每個變數 \(x\) 看做圖中的一個結點，對於每個約束條件 \(x_i-x_j\leq c_k\)

對於\(≤\)號，我們跑最短路，否則跑最長路。

對於一些對解有要求的問題，我們建一個超級原點，對於 \(x_i-x_0 \leq c_0\) 我們設定的 \(c_0\) 為解的上限，若是大於等於則 \(c_0\) 為下限。

但在建圖後不一定存在最短/長路，因為可能存在無限減小/增大的負環/正環，此時就是無解的情況。

解法：

1. 根據題中的關係推出一些隱含的關係式。
2. 進行建圖。

不等式標準化：

如果要求取最小值，那麼求出最長路，那麼將不等式全部化成 $ x_i - x_j ≥ k $的形式，這樣建立 \(j->i\)

建好圖之後直接\(\text{spfa}\)或\(\text{bellman-ford}\)求解，不能用\(\text{dijstra}\)演算法，因為一般存在負邊，注意初始化的問題。

例題

P3275 [SCOI2011]糖果。