first：題目

描述

N+Q是班長。在校運動會上，N+Q班要進行隊列表演。N+Q要選出\(2* N\)名同學編隊，每人都被編上一個號，每一個從\(1\)到\(N\)的自然數都被某\(2\)名同學佩戴，現在要求將他們排成一列，使兩個編號為\(1\)的同學中間恰好夾\(1\)名同學，兩個編號為\(2\)的同學中間恰好夾\(2\)名同學，·······，兩個編號為\(N\)的同學中間恰好夾\(N\)名同學，N+Q希望知道這樣的排法能否實現。

輸入

僅包括一行，即要處理的\(N\)。

\(1\le N\le 13\)

輸出

輸出有多少種合法的排列方式

second：分析

直接dfs即可，使用回朔法，設 \(\large f_i\)

為了搜尋方便，我們可以規定每個人搜尋是搭檔的序號比他大，也就是說假設你是第\(i\)號，你要佩戴\(j\)，那麼你的搭檔是第\(i+j+1\)號同學，而不是第\(i-j-1\)號同學。

先判斷是否佩戴，如果沒有佩戴，在一一列舉可佩戴的編號。

判斷時既要保證自己沒有佩戴，還要保證自己的搭檔沒有佩戴，即設你是第\(i\)
號，你要佩戴\(j\)，那麼你也要保證\(i+j+1\)號同學沒有佩戴。

列舉時因為我們已經規定了搭檔順序，所以列舉到\(2n-dep-1\)即可，因為後面的\(dep+1\)

如果找到一組解滿足要求，則能實現，答案加一，時間複雜度為\(O(n\ !)\)

third：新知

因為這道題資料比較強，我們的dfs會超時，所以我們還需要剪枝。

我們搜尋時一般是先搜小的數，然後再搜大的數，導致後面很難搜尋成功，在一棵子樹中浪費了許多時間。

我們就可以先搜大的數，留下一些小空間，再搜小的數，更容易成功，時間就可以到，在打個表，可以通過此題。

注意一下，這裡的搜尋深度\(dep\)不是從\(1\)到\(n\)了，而是從\(n\)到\(1\)，所以如果搜尋深度為\(0\)的話，就代表搜到了。

fourth：注意

1、一定要保證自己和搭檔都沒有佩戴。

2、倒序搜尋更快。

3、及時回溯。

4、列舉時列舉到\(2 n-dep-1\)。

5、\(dep\)為\(0\)時代表找到解。

fifth：補充

大家肯定覺得奇怪，為什麼這道題目既然要打表，還要有這麼強的資料，所以肯定還可以優化。

我們用上面的程式跑一跑，就會發現當\(n\%4=1\)或\(0\)時無解，即\(ans=0\)，於是我們就得到了一個猜想，證明如下：

設問題的一個可行解為\(\large a_1,a_2,······,a_n\)，其中$ a_i\(為標號為\)i$的數字的位置，這些數字的對應數字的位置應該為

\(a_1+1+1,a_2+2+1,······,a_n+n+1\)

這\(2n\)個整數

\(a_1,a_2,······,a_n,a_1+1+1,a_2+2+1,······,a_n+n+1\)

正是\(1,2,······,2n\),因而

可見\(n(3n-1)\)應該是\(4\)的倍數，當\(n\%4=0,1,2,3\)時，\(n(3n-1)\%4=0,2,2,0\)，故\(n\%4=1\)或\(2\)時，無解，證畢。

sixth:程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans,n;
int a[10001];
void dfs(int dep)
{
    if(dep==0)//找到解
    {
        ans++;
        return;
    }
    for(int i=1;i<=2*n-dep-1;i++)//列舉
    {
        if(a[i]==0&&a[i+dep+1]==0)//自己和搭檔都沒有佩戴
        {
            a[i]=dep;
            a[i+dep+1]=dep;//則佩戴
            dfs(dep-1);
            a[i]=0;//回溯
            a[i+dep+1]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    if(n%4==1||n%4==2)//特判
    {
        cout<<0;
        return 0;
    }
    dfs(n);
    cout<<ans;
    return 0;
}