May Cook-Off 2021 Division 1

Double Burgers

略

Permutation Swaps

\((i,p_i)\) 連邊，維護每個環即可（略）

Falling Zero

簡單地用棧維護一個從根到葉子的dp即可（略）

Product Mex Queries

先進行一些分析。假設區間中只有質數的次冪，質數 \(p\) 能拼出次冪的指數的 \(mex\) 為 \(W_p\)，那麼答案為 \(\min\{p^{W_P}\}\)。既然答案是質數的次冪，那麼加入不是質數次冪的數，顯然於事無補，由此得到結論：有用的數只有質數的次冪。

答案的寬鬆上界為第 \(n+1\) 個質數，那麼我們維護每一種質數能拼出哪些指數，由於答案有上界，指數的上界為 \(\log V\)

方案Ⅰ：直接使用回滾莫隊，用 \(bitset\) 維護可行性，用 \(\_Find\_first()\) 函式快速計算 \(mex\) 值，若用 \(set\) 維護答案多出 \(\log\)，可改用分塊平衡去掉，複雜度 \(O(\frac{n\sqrt{n}\log V}{w}+n\sqrt{V})\)。\(\sqrt{V}\) 似乎有些大了，但其實可能的答案只有 \(\le V\) 的質數次冪，數量略多於 \(n\)，把這些可能值離散後再分塊複雜度為 \(O(\frac{n\sqrt{n}\log V}{w}+n\sqrt{n})\)

方案Ⅱ：將 \(R\) 從左往右移動，記錄 \(f_R(x)\)

XOR maximum-minimum matrices

\(2^n\)