學習筆記——樹形DP

阿新 • • 發佈：2021-08-05

前言

學完樹形$DP$，$NOIP$會考的所有$DP$我們就都學完了，所以讓我們一鼓作氣，開始樹形$DP$的學習之旅吧！

一、樹形$DP$的基本概念

顧名思義，樹形$DP$就是在樹這種資料結構上進行$DP$~~(這不是廢話嗎？)~~，通過有限次遍歷樹，記錄相關資訊，以求解問題。因為樹形$DP$是建立在樹上的，而樹中的父子關係本身就是一個遞迴結構（滿足子問題重疊性），所以自然而然地就衍生出了兩種$DP$順序:

1.葉子節點 $\Rightarrow $ 根節點：就是將葉子節點的資訊向上傳到父親節點，在父親節點處進行資訊的整合。最後由根節點記錄的資訊得到最優解。

例如本題可以將下屬來不來得到的權值作為資訊傳遞到上級

(題解)(我的程式碼)

2.根節點 $\Rightarrow $ 葉子節點：取所有點作為一次根節點進行求值，此時父節點得到整棵樹的資訊，只需要去除這個兒子節點$DP$值的影響，然後再轉移給這個兒子。~~(此做法一般不用，但有時可能有奇效)~~

樹形$DP$的順序：一般按照${\color{Red}\colorbox{White}{後續遍歷}}$的順序（先處理兒子節點再處理當前節點（這樣才符合$DP$的三個基本條件））

實現方式：樹形$DP$一般用${\color{Red}\colorbox{White}{記憶化搜尋}}$實現（既然是記搜當然用的是遞迴了）(類似於樹剖的第一個dfs)

時間複雜度：一般的樹形$DP$的時間複雜度是$O(N)$（因為每一個節點只會被遍歷一次

），如果有附加維$M$,則複雜度為$O(N\times M)$。

二、樹形$DP$的幾種型別

1.揹包類樹形$DP$

既然我們前面將揹包和樹形$DP$聯絡在一起學了，那我們就先從我們熟悉的揹包類入手吧！（這樣能增加我們的信心，減少我們對樹形$DP$的畏懼心理）

1.先來一道入門題（樹上01揹包）(題解)(我的程式碼)

通過本題，我們就可以大致瞭解樹形$DP$的思路--從根節點出發不斷向子樹進行搜尋，再將子樹的資訊合併到該節點上。（注意：本題要考慮只選該節點與子樹連線的這一條邊的情況）

2.經典的樹上01揹包 (題解)(我的程式碼)

本題我們又學會了一種思想--建虛點。因為本題是在森林中選一定的節點(選完父節點才可以選子節點)，但我們又不可以只由一棵樹得到最優解，所以我們可以考慮建一個虛點($0$)，令它向所有樹的根節點連一條邊，接著只要對以虛點為根節點的子樹進行樹形$DP$求出最優解

即可。

3.細節較多的樹上01揹包 (題解)(我的程式碼)

通過本題，我們要學會在樹形$DP$時注意細節--該節點與它兒子節點相連的邊到底可不可取，以後做樹形$DP$題推導狀態轉移方程時要仔細考慮這個問題，才能更正確的做出樹形$DP$題。

4.狀態轉移方程含義比較新奇的題 (內層迴圈順序講解清楚的題解)(我的程式碼)

本題告訴我們：

(1)樹形$DP$的狀態轉移方程記錄的可以不只是一個最優解，還可以記錄該狀態對最終答案的貢獻。

(2)我們可以通過建立雙向邊的方式將一棵樹強行轉化為以1號節點為根節點的樹，然後通過遍歷順序重新確立父子節點。

(3)我們要注意該狀態有沒有被更新過，可以通過思考將一些不可能更新答案的狀態排除(本題中還是初始值-1的狀態)，加快程式的執行效率。

5.(上一道搜尋題（大霧)(講的很詳細的題解)(我的程式碼)

~~先吐槽一下~~：普及$DP+IOI$輸入$=$提高難度

好了好了，來總結一下本題的收穫

(1)聯想已學：遇到另類的輸入時，可以聯想一下我們已學演算法中有沒有類似的結構。例如本題可以用類似線段樹的建樹方式來解決輸入問題。

(2)根據題意合理運用填表法和刷表法：

還是先簡單解釋一下這兩個詞吧！

填表法：就是一般的動態規劃，當前點的狀態，可以直接用狀態方程，根據之前點的狀態推匯出來。

刷表法：由當前點的狀態，更新其他點的狀態。

刷表法需要注意：只用於每個狀態所依賴的狀態對它的影響相互獨立。

這麼說大家是不是還是一頭霧水，舉個例子：如果狀態$A$對狀態$B$有影響，狀態$C$也對狀態$B$有影響，當狀態$A$的影響和狀態$C$的影響相互不影響，就可以運用刷表法。

本題中就記錄到達該走廊末尾需要花費的時間(設為$tim$)，令$j$表示分配給左兒子的時間，$k$表示分配給右兒子的時間，然後更新以$u$為根節點的樹花$tim+j+k$秒可以取得的最大價值。這樣可以極大地減少思考難度。

繼續挖坑 ~~(挖坑太多後面會不會填不完啊)~~

1.P3354 [IOI2005]Riv 河流

2.P4322 [JSOI2016]最佳團體

3.P4037 [JSOI2008]魔獸地圖

4.P4516 [JSOI2018]潛入行動

2.普通樹形$DP$

經歷過樹形揹包的洗禮，我們應該瞭解到了樹形$DP$的基本思路，接下來就開始真正的樹形$DP$吧！

1.最大權獨立集問題 (題解)(我的程式碼)

本題作為樹形$DP$的經典例題，當然會在各種場合出現。本題要求父子節點二選一，使總價值最大，自然是一道典型的最大權獨立集問題板子。做這類題，我們可以在$DP$陣列上多開一維，這一維只有$0$或$1$組成，表示該節點選或者不選，然後在根節點處統計答案最大值即可。

2.最小權覆蓋集問題(覆蓋邊)(題解)(我的程式碼)

本題要求 在給定的樹上取最小的節點數，使所有邊都至少有一個端點在選中的集合中。 我們還可以仿照第一問的思路繼續解題-- 在$DP$陣列上多開一維，表示該節點選或者不選，然後在根節點處統計答案最小權值 。所以，只要我們深刻理解樹形$DP$的方法，就可以如法炮製做其他題。

3.最小權覆蓋集帶點權的問題(覆蓋點)(題解)(我的程式碼)

本題看上去像例題2的加強版，但其實本題要求守點，而不是像例題2一樣守邊。就是這一個看似細小的差距，卻導致了程式碼的千差萬別。例如下面這張圖：

如果我們只守1、4號點，那這一條鏈上的點就都可以守到，但2<->3這一條邊明顯沒有守到。所以本題中我們要考慮三種情況：

1.$x$節點被自己覆蓋，即選擇$x$點來覆蓋$x$點

2.$x$節點被兒子$y$覆蓋，即選擇$y$點來覆蓋$x$點

3.$x$節點被父親$fa$覆蓋，即選擇$fa$點來覆蓋$x$點

然後分類討論進行狀態轉移，最後在根節點處取$min(f[1][0],f[1][1])$作為代價的最小值。（因為根節點沒有父親節點，所以不用討論該情況）

CF1120D Power Tree （題解）（我的程式碼）

本題想到$DP$的思路並不難，但主要噁心在輸出每個點是否可能成為最優解，這就導致一道本來黃$\sim$綠的樹形$DP$題強行升紫。

思路：

我們用dp[u][0]表示以$u$為根節點的子樹將所有葉子節點控制的最小代價，用
dp[u][1]表示以$u$為根節點的子樹中還剩一個葉子節點未控制的最小代價。

$dp[u][1] = \sum\limits dp[v][0] - max(dp[v][0] - dp[v][1])$（我們可以貪心選擇一顆子樹，使$dp[u][1]$的代價最小）
$dp[u][0] = min(sum[u],dp[u][1] + val[u])$（顯然，我們可以不選當前節點取盡$u$的所有子樹，也可以選當前節點）

我們再建一堆輔助陣列，用於輸出答案，用g[u]表示$u$的兒子節點中dp[v][0]-dp[v][1]的最大值，用
num[u]表示dp[u][0]可以有多少個dp[v][1]轉移而來，用sum[u]表示所有dp[v][0]之和，再用can[u][1]表示可以通過dp[u][1]轉移到其父親節點can[u][0]表示可以通過dp[u][0]轉移到其父親節點。

如果$can[u][0]=1$
$\circ$轉移到$can[v][0]$
$\circ$ $\circ$ 如果$num[u]>1$，則$can[v][0]=1$，因為$v$節點不一定傳遞到$dp[u][1]$
$\circ$ $\circ$ 如果$g[u]!=dp[v][0]-dp[v][1]$，即$v$節點一定傳遞到$dp[u][0]$，$can[v][0]=1$。
$\circ$ $\circ$ 如果$dp[u][0]==sum[u]$，即$v$節點一定傳遞到$dp[u][0]$，$can[v][0]=1$。
$\circ$轉移到$can[v][1]$
$\circ$ $\circ$ 如果$sum[u]-dp[v][0]+dp[v][1]+val[u]==dp[u][0]$，即貪心選擇的子樹是$v$節點，顯然$can[v][1]=1$。
如果$can[u][1]=1$
$\circ$轉移到$can[v][0]$
$\circ$ $\circ$ 如果$num[u]>1$，則$can[v][0]=1$，因為$v$節點不一定傳遞到$dp[u][1]$
$\circ$ $\circ$ 如果$g[u]!=dp[v][0]-dp[v][1]$，即$v$節點一定傳遞到$dp[u][0]$，$can[v][0]=1$。
$\circ$轉移到$can[v][1]$
$\circ$ $\circ$ 如果$g[u]==dp[v][0]-dp[v][1]$，即貪心選擇的子樹是$v$節點，顯然$can[v][1]=1$。