數字三角形

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首先我們可以發現，貪心是行不通的。見 Hack：

1
10 1
10 1 1
0 0 0 100

假如每次都選可以走的點中最大的，那麼走出來的是 \(1 + 10 + 10 + 0 = 20\)，但實際上，我們可以走 \(1 + 10 + 1 + 100 = 112\)，這也是最優路徑。

所以，我們考慮動態規劃（DP）。

逆推

設 \(f_{i, j}\) 表示從第 \(i\) 行第 \(j\) 列走到最後一行的最大的和。邊界根據定義（術語叫做狀態），就是 \(f_{n, i} = w_{n, i}\)（\(w\) 是點的權值）。這樣，我們只需要從最後一層逆著往上走，推到 \(f_{1, 1}\)

考慮 \((i, j)\) 是如何被走到的，發現可以被 \((i + 1, j)\) 走到，也可以被 \((i + 1, j + 1)\) 走到（這裡是逆著走的）。那麼我們得到一個柿子（術語叫做狀態轉移方程，也就是 \(f_{i, j}\) 這個狀態是怎麼從別的狀態轉移過來的），\(f_{i, j} = \max(f_{i + 1, j}, f_{i + 1, j + 1}) + w_{i, j}\)（別忘了加上本身的權值）。

順推

上面我們介紹了逆推，那麼，可不可以順推呢？

既然要順推，我們定義 \(f_{i, j}\) 表示從 \((1, 1)\) 走到 \((i, j)\)

順著走，發現 \((i, j)\) 可以被 \((i - 1, j)\) 和 \((i - 1, j - 1)\) 走到。從而有 \(f_{i, j} = \max(f_{i - 1, j}, f_{i - 1, j - 1}) + w_{i, j}\)。

由於不能保證最後在哪裡結束，所以答案為 \(\max_{1 \leq i \leq n}\{f_{n, i}\}\)（走到第 \(n\) 行的所有路徑的最大值）。

最長上升子序列

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最長上升子序列即 Longest Increasing Subsequence（LIS）。這裡我們介紹簡單的 \(O(n ^ 2)\)

設 \(f_i\) 表示前 \(i\) 個數中以 \(a_i\) 結尾（經常這麼設計狀態）的 LIS 長度。初始 \(f_i = 1\)（\(a_i\) 自己就是一個上升子序列）。

考慮如何轉移。注意到前 \(i\) 個數中以 \(a_i\) 結尾的 LIS 一定是一個不以 \(a_i\) 結尾的 LIS「拼上」\(a_i\)。那麼我們可以列舉這個不以 \(a_i\) 結尾的 LIS 的結尾 \(j\)。從而有狀態轉移方程 \(f_i = \max_{1 \leq j < i, a_j < a_i}\{f_j + 1\}\)（這個狀態轉移方程很重要，請細細體會）。

程式碼如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;

int n, a[N], f[N], ans;
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		f[i] = 1;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j < i; j++)
			if (a[j] < a[i] && f[j] + 1 > f[i])
				f[i] = f[j] + 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (f[i] > f[ans]) ans = i;
	cout << f[ans] << endl;
	return 0;
}

那如果我們要輸出 LIS 呢？其實也非常簡單。我們用一個 \(pre\) 陣列來記錄，表示 \(i\) 是從 \(pre_i\) 「轉移」過來的（\(pre_i\) 下一個就是 \(i\)）。這樣，我們只需要在轉移的時候，加上 pre[i] = j 即可。

輸出時，我們可以使用遞迴。程式碼如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5005;

int n, a[N], pre[N], f[N], ans;

void print(int x) { // print(x) 表示輸出以 x 結尾的 LIS
	if (pre[x] != x) print(pre[x]); // 遞迴，先輸出 x 前面的所有序列
	cout << a[x] << " "; // 再輸出它本身
}
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		pre[i] = i; // 初始每一個數都是自己轉移的，定義為 i
		f[i] = 1;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j < i; j++)
			if (a[j] < a[i] && f[j] + 1 > f[i]) {
				f[i] = f[j] + 1;
				pre[i] = j;
				// f[i] 被 f[j] + 1 更新，則 i 是從 j 轉移過來的
			}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (f[i] > f[ans]) ans = i;
	cout << f[ans] << endl;
	print(ans);
	return 0;
}

這種記錄前驅 \(pre\) 或者字尾 \(nxt\) 的輸出方法在 DP、搜尋中很常見，請讀者一定掌握。

PS：還有 \(O(n \log n)\) 的 LIS 方法，使用二分，可以自行上網搜尋。

最長公共子序列

最長公共子序列，即 Longest Common Subsequence（LCS）。

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給出兩個長度為 \(n\) 和 \(m\) 的字串 \(A\) 和 \(B\)，求即是 \(A\) 的子序列又是 \(B\) 的子序列的最大長度。

設 \(f_{i, j}\) 表示 \(A_{1 \sim i}\) 與 \(B_{1 \sim j}\) 的 LCS 長度。當 \(A_i = B_j\)，即它們是公共時，我們可以把它們作為一個公共子序列，從而有 \(f_{i, j} = f_{i - 1, j - 1} + 1\)；否則它們不公共，那麼「丟掉」\(A_i\) 或者 \(B_j\) 對 LCS 是沒有影響的，有 \(f_{i, j} = \max(f_{i - 1, j}, f_{i,j - 1})\)。

綜上，得到狀態轉移方程

程式碼如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;

int n, m;
char a[N], b[N];
int dp[N][N];
int main() {
	scanf("%s", a + 1);
	scanf("%s", b + 1);
	n = strlen(a + 1);
	m = strlen(b + 1); // 從 1 開始避免 -1 越界
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			if (a[i] == b[j]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
			else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
	printf("%d\n", dp[n][m]);
	return 0;
}