• 1. 前言
• 2. 詳解
• 3. 練習題

1. 前言

樹形 DP，是一種 DP （廢話），專門用於樹上的 DP。

這類 DP 因為其板子好記，標記顯眼而十分易懂。

而且樹形 DP 長得就不像 DP，更像暴力搜尋。

當然 DP 肯定也有很大思維量的，但是像樹形 DP 程式碼確實挺好打。

2. 詳解

例題：P1352 沒有上司的舞會

題目實際上就是給出一棵有 \(n\) 個點的樹，選出一些點，使得這些點兩兩不相鄰，求最大點權和。

這就是樹形 DP 的板子題。

首先先把樹存下來。

前言裡面說過：樹形 DP 更像一種暴力搜尋，於是我們需要對這棵樹做一遍 dfs，邊 dfs 邊 DP。

考慮到樹形 DP 是一種 DP （難道不是嗎）

以下的所有討論都假設已經確定樹的形態以及根。

設 \(f_{k,0/1}\) 表示節點 \(k\) 以及其子樹選出點的最大權值和。\(0\) 表示節點 \(k\) 不放，\(1\) 表示節點 \(k\) 放。

那麼作為樹形 DP，很重要的一點就是：父節點的 \(f\) 的計算是與子節點有關係的。

因此對於這道題，我們的狀態轉移方程如下：

其中 \(V\)

如果這個點不選，那麼兒子可選可不選；但是如果選了，那麼兒子不能選。

注意：選出的點集 \(U=\varnothing\) 也是可以的，因此可能答案為 \(0\)。

最後的答案為 \(f_{root,0/1}\) 中的最大值。

程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define Max(a, b) ((a > b) ? a : b)
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 6e3 + 10;
int n, r[MAXN], f[MAXN][2], root;
vector <int> Next[MAXN];
bool book[MAXN];

int read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}

void dfs(int now, int fa)
{
	f[now][0] = 0, f[now][1] = r[now];
	for (int i = 0; i < Next[now].size(); ++i)
	{
		int u = Next[now][i];
		if (u == fa) continue;
		dfs(u, now);
		f[now][0] = Max(f[now][0], Max(f[now][0] + f[u][0], f[now][0] + f[u][1]));
		f[now][1] = Max(f[now][1], f[now][1] + f[u][0]);
	}
}

int main()
{
	n = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) r[i] = read();
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		int x = read(), y = read(); book[x] = 1;
		Next[y].push_back(x); Next[x].push_back(y);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if (!book[i]) {root = i; break;}
	dfs(root, root);
	printf("%d\n", Max(f[root][0], f[root][1]));
	return 0;
}
 

這裡提供一種樹形 DP 的板子，但是不能保證這個板子能夠通過所有題目。

int f[...];

void dfs(int now, int fa...)
{
	/*設定初值*/
	for (/*遍歷兒子*/)
	{
		int u = /*兒子*/;
		if (u == fa) continue;//注意不能返回父親節點
		dfs(u, now...);
		/*轉移*/
	}
}

3. 練習題

練習題傳送門：DP演算法總結&專題訓練2（樹形 DP）