尤拉函式

題目連結：YBTOJ高效進階 21190

題目大意

給你一些數 a1~an，然後要你求：
在每個數中選一個因子，它們的積的尤拉函式的結果的和。

思路

由於是尤拉函式，我們通過線性篩求它的方法，自然想到把每個質數分開來解決。

那就變成了你每個數可以貢獻 \(0\sim k_{p,i}\)（\(k_{p,i}\) 是 \(p\) 在 \(i\) 質因數分解的時候出現的次數）

那你就考慮 DP，要麼是這次是第一次貢獻，要麼是這一次不是。
那你是第一次貢獻就是直接加上（記得要把 \(1\sim k_{p,i}\) 的貢獻都加上）

然後不是第一次的話就是之前的答案乘上 \(0\sim k_{p,i}\)

然後記得要加上什麼都不選的情況，然後每個質數的結果就可以了。

程式碼

#include<cstdio>
#include<vector>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

int n, a[100001];
int prime[1000001];
int np[10000001], pl[10000001];
vector <int> nm[1000001];
ll ans, f[2000001];

ll slove(int now) {//分別處理每個質數
	for (int i = 0; i < nm[now].size(); i++) {
		f[i + 1] = 0;
		ll noww = 0, di = 1;
		for (int j = 0; j < nm[now][i]; j++) {
			noww = (noww + di) % mo;
			di = di * prime[now] % mo;
		}
		f[i + 1] = noww * (prime[now] - 1) % mo;//這次有新的
		noww = (noww + di) % mo;
		f[i + 1] = (f[i + 1] + f[i] * noww % mo) % mo;//之前就有加上的
	}
	return (f[nm[now].size()] + 1) % mo;//加上什麼都不選的
}

int main() {
//	freopen("varphi.in", "r", stdin);
//	freopen("varphi.out", "w", stdout);
	
	for (int i = 2; i <= 10000000; i++) {
		if (!np[i]) {
			np[i] = i; prime[++prime[0]] = i;
			pl[i] = prime[0];
		}
		for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= 10000000; j++) {
			np[i * prime[j]] = prime[j];
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
		int noww = a[i];
		while (noww != 1) {//分解一下質因數
			int now = np[noww], ti = 0;
			while (np[noww] == now) {
				noww /= now; ti++;
			}
			nm[pl[now]].push_back(ti);
		}
	}
	
	ans = 1;
	for (int i = 1; i <= prime[0]; i++) {
		ans = ans * slove(i) % mo; 
	}
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}