總體: 研究事物的總體

個體: 全體事物中的單個,叫做個體

有限總體: 總體時有限個.

無限總體: 熊踢無限個.

樣本: 從總體中抽樣(X1,...Xn),觀測值(x1,...xn)

統計量的定義: 不含任何未知引數的樣本的函式(以下X'都表示均值)

• x1 + x2 + ...+xn
• 均值: X' = 1/nΣ_i=1ⁿXi
• 未修正的樣本方差: S₀² = 1/nΣ_i=1ⁿ(Xi-X')
• 樣本的方差: S² = 1/(n-1)Σ_i=1ⁿ(Xi-X')²
• 樣本的標準差: S = (1/(n-1)Σ_i=1ⁿ(Xi-X')²)^½
• 樣本K階原點距: A^k = 1/nΣ_i=1ⁿX_i^k A1 = X'
• 樣本K階中心距: Bk = 1/nΣ_i=1
  ⁿ(Xi-X')^kB₂ = S₀²

兩個樣本的協方差:

• S₁₂ = 1/nΣ(Xi-X')(Yi-Y')
• 相關係數: R = S₁₂/S₁S₂

樣本均值和樣本方差的性質:

• 設總體X的均值未EX =μ, 方差為DX =σ2, 樣本(X1,X2,...,Xn)來自總體X, 則:
  • EX' =μ
  • DX' = 1/nσ²
  • E(S)² =σ²

抽樣分佈(統計量分佈):

• 卡方分佈:
  • 定理: X1,...Xn相互獨立, 服從標準正太分佈N(0,1)Σ_i=1ⁿx_i² ~ X²(n), 自由度是由前邊變數的個數決定的
  • EX = n, DX = 2n
  • 定理: X~ X²(n), Y ~ X²(n),, X,Y均服從卡方分佈, 且X,Y相互獨立,則X+Y ~ X²
    (m+n)
  • 推論: X_i ~ X²(m_i), X_i之間相互獨立,Σ_i=1ⁿX_i ~ X²(Σ_i=1ⁿm_i)
• 上α分位數:
  • P (X² > X²_α(n)) =α
    • α就是點, X²_α:這的α是概率

t分佈:

• 定理: X ~ N(0,1)服從正太分佈, Y ~ X²(n)服從卡方分佈, X,Y獨立, 則X/(Y/n)^½ ~ t(n)

F分佈:

• 定理: X ~ X²(n₁), Y ~ X²(n₂), X,Y均服從卡方分佈, 且相互獨立, 則(X/n₁)⁄(Y/n₂) = F(n₁, n₂)
• F(n1, n2) = 1/(F(n2, n1))

正太總體下的抽樣分佈

• 定理: X ~ N(μ,σ2)的正態分佈, {X1, ...Xn}樣本
  • X' ~ N(μ, σ²
    /n)
  • (X' -μ)/(σ/n^½)= (X' -μ)/σn^½ ~ N(0,1)
  • EX =μ
  • DX =σ²/n
  • (n-1)s²/σ² = 1/σ² = 1/σ²Σ_i=1ⁿ(xi - x')² ~ X²(n-1) (卡方分佈)
  • X' 與S²相互獨立
• 1/σ2Σ_i=1ⁿ(Xi-μ)² ~ X²(n)
• (X' -μ)/Sn^½ ~ t(n-1)
• 兩個正太總樣本: X ~ N(μ₁, σ₁²), Y ~ N(μ₂, σ₂²)
  • [(X'-Y') - (μ1 - μ2)] / (σ₁²/n₁ +σ₂²/n₂)^½
  • (S₁²/σ₁²)/(S₂²/σ₂²) ~ F(n₁-1, n₂-1)