6.1 積分與數值積分

6.1.1 定積分簡介

給定有界函式\(f(x)\)以及區間\([a,b]\)，任取一組分點

\(\qquad a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\)，

把區間\([a,b]\)分成n個小區間\([x_i,x_{i+1}],i=0:n-1\)，再任取\(\xi_i\in[x_i,x_{i+1}]\)，令

\(\qquad R_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i,\quad\Delta x_i=x_{i+1}-x_i,\)

設\(\lambda=\max\limits_{0\le i\le n-1}\{\Delta x_i\}\)

\(\qquad I=\int_a^bf(x)\mbox{d}x=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i\)

和式\(R_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i\)稱為Riemann和。

通常來說，函式\(f(x)\)只要滿足連續、分段連續、單調這三者之一，定積分總存在。

1）Riemann和能否近似計算定積分

答案是否定的，為得到較好的近似效果，\(\xi_i\)和\(x_i\)都要針對性選取，且n通常會比較大，計算成本較高與初心相悖。

2）牛頓-萊布尼茨公式等解析方法的侷限性

一些函式找不到初等函式表示的原函式，\(f(x)\)還可能是一個表函式，根本不知道具體的表示式。

6.1.2 數值積分

2）數值求積分的思路1

有效利用插值多項式進行數值求積

注意到\(p_n(x)=y_0l_0(x)+\cdots+y_nl_n(x),\)

則\(\int_{a}^bp_n(x)\mbox{d}x=\sum\limits_{k=0}^{n}y_k\int_{a}^bl_k(x)\mbox{d}x=\sum\limits_{k=0}^nA_ky_k,\)

3）數值求積分的思路2