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演算法分析：線性 dp

拿到題目首先觀察資料範圍，發現 \(1\le n\le20\)，因此我們可以先將所有的滿足條件的互質的數預處理出來（以下稱這些滿足條件的組為“互質對”）。需要注意的一點是，\(\{1,1\}\) 這組不滿足條件。當 \(n=20\) 時，共有 \(127\) 組。

接著我們考慮 \(\text{Mirko}\) 在什麼條件下能獲得勝利。

• 如果 \(\text{Mirko}\) 沒有選包含 \(1\) 的互質對，那麼，不論他如何選，所有被選的互質對必定滿足 \(a,b \ge 2\)。也就是說，\(\text{Slavko}\) 只需令 \(x=2\)。在這種情況下，\(\text{Mirko}\)

  無法獲勝。

• 如果 \(\text{Mirko}\) 沒有選包含 \(n\) 的互質對，與上一中情況類似，所有被選的互質對必定滿足 \(a,b<n\)。也就是說，\(\text{Slavko}\) 只需令 \(x=n\)。在這種情況下，\(\text{Mirko}\) 同樣無法獲勝。

• 如果 \(\text{Mirko}\) 選的互質對中包含以下情況：

  記他選的某兩對互質對 \(\{a,b\},\{c,d\}\) 且滿足 \(a<b<c<d\)。

  那麼 \(\text{Slavko}\) 只需令 \(x=c\)，那麼 \(\text{Mirko}\) 依然無法獲勝。

綜合以上三種情況，我們發現，若要使 \(\text{Mirko}\) 獲勝，不能存在上述三種情況的任意一種。

我們把一組互質對看做一條 \(a\to b\) 的線段，那麼這個問題就轉化為區間覆蓋問題。即：

在給定線段中選出若干條，求完全覆蓋 \(1\to n\) 這個區間的方案數。

針對此問題，我們先將所有線段按右端點排序。可設 \(dp_{i,j}\) 為選到第 \(i\) 條線段，覆蓋了 \(1\to j\) 這個區間的方案數。初始化 \(dp_{0,1}=1\)，答案為 \(dp_{cnt,m}\)，\(cnt\) 為互質對的總數。於是有：

其中 \(L_i\)

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define reg register
#define F(i,a,b) for(reg int i=(a);i<=(b);++i)
using namespace std;
bool beginning;
inline int read();
const int N=150,mod=1e9;
int n,cnt;
struct P {
	int x,y;
	bool operator <(const P& a)const {
		return y<a.y;
	}
} a[N];
namespace Dp {
	ll dp[N][25];
	void main() {
		dp[0][1]=1;
		F(i,1,cnt) {
			F(j,1,n) {
				dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j])%mod;
				if(a[i].x<=j)dp[i][a[i].y]=(dp[i][a[i].y]+dp[i-1][j])%mod;
				else dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j])%mod;
			}
		}
		printf("%lld\n",dp[cnt][n]);
	}
}
bool ending;
int main() {
//  system("color fc");
//  printf("%.2lfMB\n",1.0*(&beginning-&ending)/1024/1024);
	n=read();
	F(i,1,n) {
		F(j,i+1,n) {
			int gcd=__gcd(i,j);
			if(gcd==1)a[++cnt]= {i,j};
		}
	}
	sort(a+1,a+cnt+1);
	Dp::main();
	return 0;
}
inline int read() {
	reg int x=0;
	reg char c=getchar();
	while(!isdigit(c))c=getchar();
	while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x;
}

AC 記錄

不過還有一種比較樸素的搜尋演算法（模擬賽時想出來的亂搞演算法）。為了避免重複，我們限定使用的的線段數量，類似於 ID，記憶化搜尋，記 \(dp_{fro,r,res}\) 表示上一條線段是 \(fro\)，當前已經覆蓋 \(1\to r\)，還要選 \(res\) 條線段的情況數。這裡也給出程式碼。

code2:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define reg register
#define F(i,a,b) for(reg int i=(a);i<=(b);++i)
using namespace std;
bool beginning;
inline int read();
const int N=150,mod=1e9;
int n,cnt;
struct P {
    int x,y;
} a[N];
ll dp[N][25][N];
ll dfs(int fro,int r,int res) {
    if(!res)return r>=n;
    if(fro>=cnt)return 0;
    if(~dp[fro][r][res])return dp[fro][r][res];
    ll ans=0;
    F(i,fro+1,cnt) {
        if(a[i].x<=r) {
            ans+=dfs(i,max(a[i].y,r),res-1);
            ans%=mod;
        }
    }
    return dp[fro][r][res]=ans;
}
bool ending;
int main() {
//  system("color fc");
//  printf("%.2lfMB\n",1.0*(&beginning-&ending)/1024/1024);
    n=read();
    F(i,1,n) {
        F(j,i+1,n) {
            int gcd=__gcd(i,j);
            if(gcd==1)a[++cnt]= {i,j};
        }
    }
    ll ans=0;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    F(i,1,cnt) {
        ans+=dfs(0,1,i);
        ans%=mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
inline int read() {
    reg int x=0;
    reg char c=getchar();
    while(!isdigit(c))c=getchar();
    while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x;
}

AC

跑得慢死了。

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本文來自部落格園，作者：楓のDark，轉載請註明原文連結：https://www.cnblogs.com/lbh2021/p/15130039.html