題目連結：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1258

題目大意：

給你一個數字金字塔，每次可以從當前點走到左下方或右下方的點。查詢從最高點到底部任意處結束的路徑，使路徑經過數字的和最大。

解題思路：

設 \(a_i,j\) 表示數字金字塔上第 \(i\) 行從左往右數第 \(j\) 個點，則我們的目的就是從 \(a_{1,1}\) 走到第 \(n\) 行的 \(a_{n,i}\)（此處 \(i\) 可能是 \(1 \sim n\) 範圍內的任何一個點）。

很明顯這道題目可以用動態規劃（DP）求解，但是根據求解的方向不同，對應的狀態也不相同。

這裡，我們可以以兩種思路來解決這個問題：

• 第1種思路：自頂向下（從上往下推）；
• 第2種思路：自底向上（從下往上推）。

下面，我們來依次分析兩種思路。

自頂向下（從上往下推）

定義狀態 \(f_{i,j}\) 表示從 \(a_{1,1}\) 走到 \(a_{i,j}\) 的所有路徑數字和的最大值。則，可以推匯出狀態轉移方程為：

• 當 \(i =1\) 時（\(i=1\) 時只有一個狀態 \(f_{1,1}\)），\(f_{1,1} = a_{1,1}\)；
• 當 \(i \gt 1\) 時，
  • 當 \(j = 1\) 時，\(f_{i,1} = f{i-1,1} + a_{i,1}\)（最左邊的點只能從右上方走過來）；
  • 當 \(j = i\)
    時，\(f_{i,i} = f{i-1,i-1} + a_{i,i}\)（最右邊的點只能從左上方走過來）；
  • 當 \(1 \lt j \lt i\) 時，\(f_{i,j} = \max\{f_{i-1,j-1}f_{i-1,j}\} + a_{i,j}\)（中間的點可以選擇從左上角或右上角的點走過來，所以選擇兩者的較大值）

令 \(i = 1 \rightarrow n\) 的順序推匯出所有的 \(f_{i,j}\)，則最終的答案就是：

• \(f_{n,1}\)（從 \(a_{1,1}\) 走到 \(a_{n,1}\) 的最大數字和）、
• \(f_{n,2}\)（從 \(a_{1,1}\)
  走到 \(a_{n,2}\) 的最大數字和）、
• \(f_{n,3}\)（從 \(a_{1,1}\) 走到 \(a_{n,3}\) 的最大數字和）、
• …… ……
• \(f_{n,n}\)（從 \(a_{1,1}\) 走到 \(a_{n,n}\) 的最大數字和）

的最大值，即答案為 \(\max\{ f_{n,i} \}\)（其中 \(i \in [1,n]\)）

說明：\(\in\) 是“屬於”符號，\(i \in [1,n]\) 表示 \(i\) 屬於 \([1,n]\) 範圍內，即 \(i\) 是 \(1\) 到 \(n\) 範圍內（包括 \(1\) 和 \(n\)）的一個整數。

按照自頂向下實現的程式碼如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n, a[maxn][maxn], f[maxn][maxn], ans;
int main()
{
    scanf("%d", &n);    // 雖然題目裡用R表示行的數量，但是我還是比較習慣用n表示行數
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if (i == 1) f[i][j] = a[i][j];
            else if (j == 1) f[i][j] = f[i-1][j] + a[i][j];
            else if (j == i) f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[i][j];
            else f[i][j] = max(f[i-1][j-1], f[i-1][j]) + a[i][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        ans = max(ans, f[n][i]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

自底向上（從下往上推）

從第 \(1\) 行的格子（\(a_{1,1}\)）走到第 \(n\) 行的路徑的最大數字和，等價於從第 \(n\) 行選一個點作為起點從下往上走到 \(a_{1,1}\) 的路徑最大數字和。所以我們可以把問題看成從下往上走找一條最大路徑的數字和。

那麼我們可以定義狀態 \(f_{i,j}\) 表示：從第 \(n\) 行找一個點作為起點走到 \(a_{i,j}\) 的路徑的最大數字和，則可以推匯出轉檯轉移方程為：

• 當 \(i = n\) 時，\(f_{i,j} = a_{i,j}\)（因為時最下面一行，起點出發能夠得到的數字就是本身）；
• 當 \(i \lt n\) 時，\(f_{i,j} = \max\{ f_{i+1,j} , f_{i+1,j+1} \} + a_{i,j}\)。

注意這裡要按照 \(i = n \rightarrow 1\) 的方向推匯出所有的狀態。

則最終的狀態為 \(f_{1,1}\)（因為從小往上推的話，所有路徑對應的重點只有一個就是 \(a_{1,1}\)）。

按照自底向上實現的程式碼如下（可以發現，按照這種方法實現的程式碼更簡潔一些）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n, a[maxn][maxn], f[maxn][maxn];
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    for (int i = n; i >= 1; i --)
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++)
        {
            if (i == n) f[i][j] = a[i][j];
            else f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + a[i][j];
        }
    }
    printf("%d\n", f[1][1]);
    return 0;
}