斐波那契數，通常用\(F(n)\) 表示，形成的序列稱為 斐波那契數列 。該數列由0 和 1 開始，後面的每一項數字都是前面兩項數字的和。也就是：

\(F(0) = 0，F(1)= 1\)
\(F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)\)，其中 \(n > 1\)
給你 \(n\) ，請計算 \(F(n)\) 。

示例 ：
輸入：2
輸出：1
解釋：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

演算法1(暴力遞迴)

時間複雜度：\(O(2^n)\)
遞迴演算法的時間複雜度: 子問題個數 * 解決一個子問題需要的時間。
本題中子問題個數即為遞迴樹的節點個數，\(O(2^n)\)

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1 || n == 2) return 1;
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
};

演算法2（帶備忘錄的遞迴）

時間複雜度：\(O(n)\)
因為該演算法沒有冗餘的計算過程，所以子問題個數為n（每個數計算一次），即\(O(n)\)，解決每個子問題需要的時間為\(O(1)\)

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int memo[n + 1];
        for (int i = 0; i < n + 1; i ++ ) memo[i] = 0;
        return helper(memo, n);
    }

    int helper(int memo[], int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;
        if (memo[n] != 0) return memo[n];
        memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2);
        return memo[n];
    }
};
 

演算法3（DP陣列的迭代）

時間複雜度:\(O(n)\)
演算法2帶備忘錄的遞迴求解方法是自頂向下逐層分解，分解到f(1)和f(2)這兩個base case就開始逐層返回答案。我們也可以通過自底向上逐層推出答案。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        int dp[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

演算法4（DP陣列迭代優化）

時間複雜度：\(O(n)\)
由於每一次計算時只需用到前兩次的結果，所以我們不需要儲存長度為n的dp表，只需要儲存前兩次的計算結果。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 2 || n == 1) return 1;
        int pre = 0, cur = 1;
        int res = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
            res = pre + cur;
            pre = cur, cur = res;
        }
        return res;
    }
};