程式設計學習筆記(LeetCode-516. 最長迴文子序列)

<516>最長迴文子序列

• 問題重述：
  設有以字串 \(s\) ，找出其最長迴文子序列，並且返回該序列的長度。
  
  
  子序列： 不改變剩餘字元順序的情況下，刪除某些字元或者不刪除任何字元形成的一個序列。
  迴文： 即是正讀和反讀都一樣的字串（例如：aba，abba，bbbb等）。
  
  
  注： 單個字元也被認為是一個迴文串；

示例1：

輸入： s = "bbbab"
輸出： 4
解釋： 一個可能的最長迴文子序列為 "bbbb" 。

示例2：

輸入： s = "cbbd"
輸出： 2
解釋： 一個可能的最長迴文子序列為 "bb" 。

限定：
\(1 \leqslant s.length \leqslant 1000\)
\(s\) 僅由小寫英文字母組成

解析與求解（動態規劃）

• 對於一個子序列，若它是迴文子序列，且長度大於 2 ，去其首位，其仍是一個迴文子序列。
• 若用 \(dp[i][j]\) 表示 \(s[i,j]\) 內最長的迴文子串長度，且 \(n\) 為字串的長度，那麼：

• 由於任何長度為1的子序列都是迴文子序列，那麼：

• 當 \(i<j\) 時，需要分別考慮 \(s[i]=s[j]\) 和 \(s[i]\neq s[j]\) 的情況。
  當 \(s[i]=s[j]\) 時：\[dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2 \]當 \(s[i] \neq s[j]\) 時：\[dp[i][j]=max(dp[i+1][j],\ dp[i][j-1]) \]

dp計算順序：

• 我們想要的結果最終會落在 \(dp[0][n-1]\) 處。
• 狀態轉移方程都是從長度較短的子序列向長度較長的子序列轉移。
  那麼dp的計算順序為：
  從矩陣的右下角開始計算，每行從\((dp[i][j],\ i=j)\)
  開始計算。

C++程式碼實現：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        //建立動態規劃陣列dp
        vector<vector<int> > dp = vector<vector<int> >(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < s.size(); j++){
                if(i > j){continue;}        //0 <= i <= j <= n
                //長度為1的字元為迴文串
                else if(i == j){dp[i][j] = 1;}
                //提示： 當是s[i]=s[j]且i和j相鄰的時候，
                //      那麼i+1=j，j-1=i，dp[i+1][j-1]即為dp[i][j]的對稱點。
                //      由於dp[i][j]的對稱點值為0，所以長度恰好是0+2
                else if(s[i] == s[j]){dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2;}
                //當首尾字元不相等的時候，返回去掉當前的首或者當前的尾後的最長迴文子序列
                else if(s[i] != s[j]){dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j]);}
            }
        }
        //返回最終結果
        return dp[0][s.size()-1];
    }
};

時空複雜度：

• 時間複雜度： \(O(n^2),\ n\)為字串 \(s\) 的長度。
• 空間複雜度： \(O(n^2),\ n\)為字串 \(s\) 的長度。

備註： 摘錄自LeetCode官方題目解析。