動態規劃問題（六）最長公共子序列（LCS）

問題描述

​ 給你兩個字串，要求得到這兩個字串的最長公共子序列長度。

​ 比如：對於輸入的字串 S1 "AGGTAB" 和 S2 "GXTXAYB"，它們的最長公共子序列長度為 4，為 {'G', 'T', 'A', 'B'}

解決思路

​ 該問題剛開始見到時沒有思路，但是把問題細分一下找到規律即可解決。

• 遞迴

  • 對於當前輸入的兩個字串，可以通過不斷將兩個字串的分別移除來減小問題的規模，最終收斂

  • 以上文的輸入為例，對於輸入的 S1 “AGGTAB” 和 S2 “GXTXAYB”，首先將 S1 的第一個字元與 S2 的第一個字元比較，然後移除 S1 的第一個字元再與 S2進行比較…… 對 S2 做同樣的操作。此時的情況如下圖所示：

• 動態規劃

  • 動態規劃在這裡的解決的是重複子問題的型別，由於上文的遞迴方案，在這個解決過沖中存在大量的重複計算，因此可以使用動態規劃儲存中間計算結果，從而提高執行效率。

實現

• 遞迴

  public class Solution {
      public static int lcs(String s1, String s2) {
          int len1 = s1.length(), len2 = s2.length();
  
          // 遞迴終止條件
          if (len1 == 1 || len2 == 1)
              return s1.charAt(0) == s2.charAt(0) ? 1 : 0;
  
          // 遞迴剩下的結果得到該問題的解
          if (s1.charAt(0) == s2.charAt(0))
              return Math.max(
                  lcsRecur(s1.substring(1), s2),
                  lcsRecur(s1, s2.substring(1))
              ) + 1;
  
          return Math.max(
              lcsRecur(s1.substring(1), s2),
              lcsRecur(s1, s2.substring(1))
          );
      }
  }
   
  

• 動態規劃

  public class Solution {
      public static int lcs(String s1, String s2) {
          // 將字串轉變為對應的字元陣列，提高查詢的速度
      	char[] s1Arr = s1.toCharArray();
          char[] s2Arr = s2.toCharArray();
          int row = s1Arr.length, col = s2Arr.length;
  
          // 儲存中間計算結果的二維陣列
          int[][] dp = new int[row + 1][col + 1];
  
          for (int i = 1; i <= row; ++i) {
              for (int j = 1; j <= col; ++j) {
                  if (s1Arr[i - 1] == s2Arr[j - 1])
                      dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; // 由於要保證當前的字元是在之前比較的字元之後的，因此需要得到的是左上角的元素中間值
                  else
                      dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
              }
          }
  
          return dp[row][col];
      }
  }