矩陣求逆矩陣
因為座標系轉換實現需要求係數矩陣，所以這裡只介紹n*n維矩陣求逆矩陣的方法
單位矩陣E定義：
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
0 0 0 ... 1
對角線上都是1，其他位置全是0
矩陣相乘：
n*n維矩陣A和B相乘（我們用Aij表示A矩陣第i行第j列的值）
(A*B)ij= Ai1*B1j+Ai2*B2j+Ai3*B3j+...+Ain*Bnj
逆矩陣定義：
假設一個n*n維矩陣A，如果存在一個n*n維矩陣B，使得A*B=E，那麼就說B是A的逆矩陣A-1，同樣A也是B的逆矩陣B-1
一個矩陣的逆矩陣不是一定存在的（可以通過判斷行列式的值（也就是矩陣的模）等不等於0來判斷逆矩陣存不存在，等於0就不存在逆矩陣）
矩陣行列式求值方法：
我們需要了解等一下矩陣的初等變換：
在線性代數中，矩陣的初等行變換是指以下三種變換型別 ： (1) 交換矩陣的兩行（對調i,j，兩行記為ri，rj）； (2) 以一個非零數k乘矩陣的某一行所有元素（第i行乘以k記為ri×k）； (3) 把矩陣的某一行所有元素乘以一個數k後加到另一行對應的元素(第j行乘以k加到第i行記為ri+krj)。 類似地，把以上的“行”改為“列”便得到矩陣初等列變換的定義，把對應的記號“r”換為“c”。 矩陣的初等行變換與初等列變換合稱為矩陣的初等變換。
我們需要知道使用初等變換對矩陣的模的值的改變
第一類初等變換（換行換列）使行列式變號。
第二類初等變換（某行或某列乘k倍）使行列式變k倍。
第三類初等變換（某行（列）乘k倍加到另一行（列））使行列式不變。
上三角矩陣定義：
主對角線以下都是零的方陣稱為上三角矩陣。上三角矩陣具有行列式為對角線元素相乘、上三角矩陣乘以係數後也是上三角矩陣、上三角矩陣間的加減法和乘法運算的結果仍是上三角矩陣等性質。
示例：
1 5 6 2 0 4 8 5 0 0 3 1 0 0 0 5 為一個上三角矩陣。
計算行列式或者矩陣的時候，可以行變換和列變換混著用嗎？
1、計算行列式時，可以同時施加第一、第三類初等行/列變換，施加第二類變換時需要將行列式乘上相應的係數
2、求矩陣的秩時，也即求相抵標準形時，可以施加三種初等行變換，或施加三種初等列變換（不可混用）
3、和單位矩陣拼在一起求逆矩陣時，豎著拼就只能用列變換，橫著拼就只能用行變換
4、解方程只能行變換
A矩陣的伴隨矩陣A*的求法：
假設A為n階矩陣，定義矩陣為A的伴隨矩陣，記作。
，Mij是矩陣A去掉i行j列後，所得矩陣的行列式。
求矩陣逆矩陣的兩種方法：
一、根據定義
A-1 = (1/|A|)*A*
求出來A矩陣的模和伴隨矩陣就可以
二、構造分塊矩陣(A|E)
把分塊矩陣(A|E)的A使用初等變換化成E，那麼右邊的E在跟著A一起初等變換之後的矩陣就是A-1
原理（下圖來源於：https://wenku.baidu.com/view/62c266db094e767f5acfa1c7aa00b52acec79c0c.html）：
C++程式碼實現：
程式碼來源於：https://blog.csdn.net/XX_123_1_RJ/article/details/39268041?locationNum=5&fps=1
程式碼思想：
採用第二種方法計算逆矩陣
獲取行列式的值：把矩陣化為上三角矩陣之後按照定義求矩陣的模（注意，因為程式碼中fun函式，把矩陣變成上三角矩陣使用了初等行變換的1，3規則，又因為第一條規則會影響到行列式值的正負，所以需要記錄一下行交換了幾次）
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int const n=3; //確定矩陣的節數
/*
作者 星星筆記
*/
int main()
{
void temp(double aa[],double bb[],int n);
double fun(double array[n][n]);
double a[n][n],b[n][2*n],c[n][n],det1,yinzhi;
double bb;
int i,j,kk=0,k,u;
for(i=0;i<n;i++) //初始化一個輔助矩陣
for(j=0;j<2*n;j++)
b[i][j]=0;
//---------輸入原始矩陣---------------
cout<<"請輸入一個"<<n<<"節方陣"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
cin>>a[i][j];
//把矩陣a複製給矩陣b
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
b[i][j]=a[i][j];
for(j=0;j<n;j++)
b[j][n+j]=1;
//------------------------------------
//------------測試檢視----------
/* cout<<"a所對應的at矩陣b為："<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<2*n;j++)
{
cout<<setw(6)<<b[i][j];
kk=kk+1;
if(kk%(2*n)==0)
cout<<endl;
} */
//----------------------------------
// det1=fun(a);//獲取行列式的值
for(i=0;i<n;i++)
{
// b[i][i] 等於 0 的情況
if(b[i][i]==0)
for(j=i;j<n;j++)
{
if(b[j][i]!=0)
temp(b[i],b[j],2*n); //交換兩行
}
// b[i][i] 不等於 0 的情況
for(k=i+1;k<n;k++)
{
yinzhi = -1 * b[k][i] / b[i][i];
for(u=0; u < 2*n; u++)
{
b[k][u] = b[k][u] + b[i][u] * yinzhi;
}
}
}
det1 = fun(a);// 獲取行列式的值，把矩陣化為上三角矩陣之後按照定義求矩陣的模（注意，因為程式碼中把矩陣變成上三角矩陣使用了初等行變換的1，3規則，又因為第一條規則會影響到行列式值的正負，所以需要記錄一下行交換了幾次）
if(det1 == 0) // 如果行列式的值為0 則是不可逆的。
{
cout<<"此矩陣不可逆："<<endl;
return 0;
}
if(det1 != 0)
{
for(i=0; i<n; i++) //左矩陣 的對角線 全部 轉化為 1
{
bb = b[i][i]; // bb 不會等於0 因為對角線有有一個為0 說明行列式的值為零，
for(j=0; j<2*n; j++)
b[i][j] = b[i][j] / bb;
}
for(i=n-1; i>0; i--)
for(k=0; k<i; k++)
{
bb = b[k][i];
for(u=0; u<2*n; u++)
b[k][u] = b[k][u] - bb*b[i][u];
}
}
//------------測試檢視----------
/* cout<<"變化後的at矩陣"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<2*n;j++)
{
cout<<setw(6)<<b[i][j];
kk=kk+1;
if(kk%(2*n)==0)
cout<<endl;
}
cout<<endl; */
//------------------------------
for(i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<n; j++)
c[i][j] = b[i][j+n];
kk = 0;
if(det1!=0) //輸出逆矩陣
{
cout<<"其可逆且其行列式的值det為："<<det1<<endl<<endl;
cout<<"可逆a矩陣的逆矩陣為c矩陣："<<endl;
for(i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<n; j++)
{
cout<<setw(15)<<c[i][j];
kk = kk+1;
if(kk%n == 0)
cout<<endl;
}
}
return 0;
}
void temp(double aa[],double bb[],int n)
{ //交換陣列指定的兩行，即進行行變換（具體為行交換）
int i;
double temp1;
for(i=0; i<n; i++)
{
temp1 = aa[i];
aa[i] = bb[i];
bb[i] = temp1;
}
}
double fun(double array[n][n])
{
int ii,jj,k,u;
int iter = 0;
double det1=1,yin;
for(ii=0; ii<n; ii++)
{
if(array[ii][ii] == 0)
for(jj=ii;jj<n;jj++)
{
if(array[jj][ii] != 0)
{
temp(array[ii],array[jj],n);//交換兩行
iter++;
}
}
for(k=ii+1; k<n; k++)
{
yin = -1 * array[k][ii] / array[ii][ii];
for(u=0; u<n; u++)
{
array[k][u] = array[k][u] + array[ii][u] * yin;
}
}
}
for(ii=0;ii<n;ii++)
det1 = det1 * array[ii][ii];
if(iter % 2 == 1)
det1 = -det1;
return (det1); //返回行列式的值
}